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  \title{Alcuni compiti di precedenti appelli}
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  \posttitle{\par}
  \author{G. Marchetti}
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  \date{2016 ver. 1}

\begin{document}
\maketitle

{
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents
}
\section{Compito 2 gennaio 2012}\label{compito-2-gennaio-2012}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{11}
\tightlist
\item
  Sia \(X\) una variabile casuale distribuita come una normale con media
  \(\mu\) e deviazione standard \(\sigma\). Siano \(\bar X_1\) e
  \(\bar X_2\) le medie di due campioni di dimensione rispettivamente
  pari a 16 e 25 unità selezionati casualmente ed indipendentemente
  dalla popolazione descritta dalla v.c. \(X\). Si considerino le
  seguenti espressioni: \[
  (1)\quad  P(\bar X_1 < \mu), \qquad  (2) P(\bar X_2 < \mu )
  \] Quale delle seguenti affermazioni è vera?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Non è possibile stabilire una relazione tra le due espressioni.
\item
  Il valore dellʹespressione 1 è uguale al valore dellʹespressione 2 .
\item
  Il valore dellʹespressione 1 è maggiore del valore dellʹespressione 2.
\item
  Il valore dellʹespressione 2 è maggiore del valore dellʹespressione 1.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\(\bar X_1 \sim N(\mu, \sigma^2/16)\) e
\(\bar X_2 \sim N(\mu, \sigma^2/25)\). Quindi \[
P(\bar X_1 < \mu ) = P(Z < 0) = 0.5\qquad P(\bar X_2 < \mu) = P(Z < 0) = 0.5
\] Perciò B).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{12}
\tightlist
\item
  Se \(X\) è una variabile casuale binomiale con \(n = 20\), e
  \(p = 0.5\), allora P(X = 20) = 1.0.\$ Vero o Falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} \[
P(X = 20)  = \binom{20}{20} 0.5^{20} \cdot 0.5^0 = 0.5^{20} \ne 1
\] quindi Falso.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{14}
\tightlist
\item
  In una piccola università ci sono 728 matricole e, tra loro, 211 usano
  Skype. Si consideri un campione di 65 matricole. La probabilità che la
  proporzione campionaria sia inferiore a 0.3 è (usare 4 cifre decimali)
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.4249
\item
  0.5714
\item
  0.4388
\item
  0.5866
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Si considera una popolazione dicotomica con una
proporzione di successi (chi usa Skype) \(p=211/728\). Dato che il
campione di 65 matricole è abbastanza grande (e
\(n p(1-p) = 13.379 > 9\) ) la proporzione \(\hat P\) di successi nel
campione è approssimativamente normale con media \(p=211/728\) e con
deviazione standard \(\sigma = \sqrt{p(1-p)/n} = 0.05627279\).

La probabilità richiesta è che la proporzione campionaria sia \(< 0.3\)
cioè \[
P(\hat P <  0.30) = P[(0.30 - p)/\sigma) ] = P(Z < 0.18)  = 0.5714.
\] Quindi la risposta è B).

\section{Compito 13 febbraio 2012}\label{compito-13-febbraio-2012}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{15}
\tightlist
\item
  Negli ultimi 10 anni, i rendimenti dello Stock A sono stati in media
  dell'8.4\% con deviazione standard 2.1\% e quelli dello Stock B sono
  stati in media del 3.6\% con deviazione standard 0.9\%. Quale delle
  seguenti affermazioni è vera?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Lo Stock B ha una variabilità relativa più piccola dello Stock A.
\item
  I due stock presentano la stessa variabilità relativa.
\item
  Lo Stock A ha una variabilità relativa più piccola dello Stock B.
\item
  Non cʹè sufficiente informazione per dire quale dei due stock presenta
  la variabilità relativa più piccola.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} La variabilità relativa si misura con il coefficiente
di variazione \(CV = \sigma/\mu\). Quindi \[
CV_A  = 2.1/8.4 = 0.25, \qquad CV_B = 0.9/3.6 = 0.25
\] e quindi A e B hanno la stessa variabiità relativa. B).

\section{Compito del 2 settembre
2015}\label{compito-del-2-settembre-2015}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Un campione casuale di dimensione 15 estratto da una popolazione
  distribuita normalmente fornisce una media campionaria di 75 ed una
  varianza campionaria di 25. Il limite superiore di un intervallo di
  confidenza al 95\% per la media campionaria sarà pari a:
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  72.727
\item
  77.769
\item
  72.231
\item
  77.273
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Limite superiore =
\(\bar x + t_{14, \alpha/2} s /\surd n = 75 + 2.145 \sqrt(25/15) = 77.769.\)
B)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Sia \(Z\sim N(\mu =0,\sigma^2 =1)\). Calcolare \(P(-0.44 < Z < 1.2)\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Posto \(F(z) = P(Z \le z)\) (tavola 1 della normale,
funzione di ripartizione) \[
(-0.44 < Z < 1.2) = F(1.2) - [1- F(0.44)] = 0.5549.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  L'azienda produttrice di un nuovo macchinario asserisce che questo
  produce in media almeno 29 unità al giorno in più del macchinario
  attualmente in uso in un'industria manufatturiera. Il manager decide
  di acquistare 15 nuovi macchinari e osserva che la produzione media
  giornaliera aumenta solo di 26 unità con una deviazione standard di
  6.2. Fissato \(\alpha =0.05\), quale dovrebbe essere la regola di
  decisione?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Si rifiuta H0 se la statistica t è \(< -2.145\).
\item
  Si rifiuta H0 se la statistica t è \(> 2.145\).
\item
  Si rifiuta H0 se la statistica t è \(< -1.761\).
\item
  Si rifiuta H0 se la statistica t è \(> 1.761\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\(H_0: \mu \ge 29\) contro \(H_1: \mu < 29\). \(n = 15\) macchinari con
\(\bar x = 26\) e \(s = 6.2\). Statistica test \[
t = (\bar x - 29)/(6.2/\surd 15)
\] Si rifiuta \(H_0\) se \$ t \textless{} - t\_\{0.05, 14\} = 1.761\$.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\item
  Supponi di voler effettuare con un livello di significatività
  \(\alpha = 0.10\) il seguente test sulla media di una popolazione
  normale : \(H_0 : \mu = 277\) vs. \(H_1 :\mu \ne 277\). Supponi
  inoltre di sapere che la deviazione standard della popolazione è
  \(\sigma = 13.5\). Se selezioni un campione casuale di 20
  osservazioni, per quali valori della media campionaria rifiuterai
  l'ipotesi nulla?
\item
  Siano \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), e \(X_4\) le osservazioni di un
  campione casuale semplice estratto da una popolazione con media
  \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\). Si consideri il seguente stimatore di
  \(\mu\) \[
  T=0.15 X_1+0.35 X_2 +0.20 X_3 +0.30 X_4.
  \] Qual è la varianza di \(T\)?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(0.55\)
\item
  \(0.55\sigma^2\)
\item
  \(0.275 \sigma^2\)
\item
  \(0.275\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\begin{align*}
\mathrm{var}(T) &= \mathrm{var}(0.15 X_1+0.35 X_2 +0.20 X_3 +0.30 X_4) \\
&= 0.15^2 \sigma^2(X_1) + 0.35^2 \sigma^2(X_2) +0.20^2 \sigma^2(X_3) + 0.30^2 \sigma^2(X_4) \\
&= 0.15^2 \sigma^2 + 0.35^2 \sigma^2 +0.20^2 \sigma^2 + 0.30^2 \sigma^2 \\
&=\sigma^2( 0.15^2  + 0.35^2 +0.20^2  + 0.30^2 ) \\
& = \sigma^2 0.275.
\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\tightlist
\item
  Un professore ha raccolto i dati sul numero di assenze ad un corso
  introduttivo di Giornalismo della durata di un semestre in una classe
  di 100 studenti. I dati sono raccolti nella tabella seguente.

  \begin{tabular}{lrrrrrrr}
  \# di assenze & 0 & 1 &2 &3 &4 &5 &6\\
  \# di Studenti& 5 &13 &24& 23& 17& 11& 7\\
  \end{tabular}
\end{enumerate}

Qual è la media del numero di assenze nel semestre?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  3.07
\item
  2.95
\item
  3.14
\item
  2.00
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Media = Totale assenze/totale studenti =
\(\frac{\sum_i x_i n_i}{\sum_i n_i}\) cioè \[
Media = \frac{0\cdot 5 + 1 \cdot 13 + 2 \cdot  24 + 3 \cdot  23 + 4 \cdot  17 + 5 \cdot  11 + 6 \cdot  7}{5 +  13 +  24 +  23 +  17 +  11 +  7)} = 2.95.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  Quando si seleziona un campione casuale di dimensione \(n\) da una
  popolazione normalmente distribuita la distribuzione della media
  campionaria sarà normale indipendentemente dalla dimensione
  campionaria. Vero (T) o Falso (F)?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Se \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) allora la media
nell'universo dei campioni è \(\bar X \sim N(\mu, \sigma^2/n)\). Quindi
qualunque sia \(n\) \(\bar X\) e normale. Vero.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{7}
\tightlist
\item
  Data una variabile casuale normale \(X\) con media 70 e deviazione
  standard 12, il valore della variabile casuale normale standardizzata
  \(Z\) corrispondente a X = 82 è più grande di zero. Vero (T) o Falso
  (F)?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} \(Z\) si ottiene da \(X\) con la trasformazione \[
Z  = \frac{X - \mu}{\sigma}  = \frac{X - 70}{12}
\] quindi se \(X = 82\) \[
Z = \frac{82-70}{12}  = 12/12 = 1 > 0.
\] Quindi è vero.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{8}
\tightlist
\item
  Una recente indagine ha studiato la condizione lavorativa delle coppie
  che costituiscono una famiglia. I dati mostrano che nellʹ88\% delle
  coppie almeno uno dei membri lavora. Nel 20\% delle coppie in cui la
  donna non lavora, nemmeno l'uomo lavora. Inoltre, nel 40\% delle
  coppie in cui lʹuomo non lavora, nemmeno la donna lavora. Qual è la
  probabilità che né l'uomo né la donna lavorino?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Siano \(M\) ed \(F\) gli eventi \(M =\) l'uomo lavora e \(F\) = la donna
lavora. Dunque \(P(M \cup F) = 0.88\). Inoltre
\(P(\bar M \mid \bar F) = 0.20\) e \(P(\bar F \mid \bar M) = 0.4.\)

Allora \[
P(\bar M \cap \bar F) = 1 - P(M \cup F) = 1-  0.88 = 0.12.
\] Gli altri dati non servono.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{9}
\tightlist
\item
  Le vendite da parte di un grossista di impianti idraulici avvengono
  tramite spedizione oppure a pronta consegna. In un mese le vendite
  pronta consegna hanno una media di \$,102972 con una deviazione
  standard di \$,13523. Durante lo stesso mese le spedizioni hanno una
  media di \$,242354 con una deviazione standard di \$,24956. Supponiamo
  che le vendite tramite spedizione e a pronta consegna siano
  indipendenti. Calcolare la media e la deviazione standard del totale
  delle vendite mensili.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Sia \(X\) = vendite a pronta consegna e \(Y\) = vendite per spedizione.
Sappiamo che \[
\mu_X = 102972\quad \mu_Y = 242354; \qquad \sigma_X = 13523, \quad \sigma_Y =24956.  
\] La media e la deviazione standard delle vendite totali \(T = X+ Y\)
sono \[
\mu_T = \mu_X + \mu_Y = 102972 + 242354 = 345326.
\] e, poiché \(X\) e \(Y\) sono indipendenti e quindi
\(\sigma_{XY} = 0\), \[
\sigma_T  = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma^2_Y} = \sqrt{805673465} = 28384.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{10}
\tightlist
\item
  Considera la seguente distribuzione del numero di studenti secondo il
  numero di assenze scolastiche. Quanti studenti hanno fatto una sola
  assenza?
\end{enumerate}

\begin{tabular}{lrr}
Mod. &  Frequenza & Percentuale Cumulata\\ \hline
0    &   200    &   20.00\\
1    &    $*$   &   50.00\\
2    &   350    &   85.00\\
3    &   100    &   95.00\\
4    &    50    &  100.00\\ \hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  250
\item
  300
\item
  50
\item
  150
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Basta trovare le frequenze relative percentuali e fare una proporzione
per le prime due righe.

\begin{tabular}{lrr}
Mod. &  Frequenza & Percentuale\\ \hline
0    &   200    &   20.00\\
1    &    $x$     &   30.00\\
\hline
\end{tabular}

Perciò \[
200 \colon 20.00  = x \colon 30.00
\] cioè \(x = 200 \cdot 30 /20 = 300\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{11}
\tightlist
\item
  La probabilità che una persona acquisti un costume da bagno durante le
  vacanze a Forte dei Marmi è 0.4. Si selezionano a caso 10 persone.
  Qual è la deviazione standard del numero di persone che compreranno un
  costume?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  1.125
\item
  1.245
\item
  1.549
\item
  1.265
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Se \(S\) = numero di persone che compreranno il
costume su 10 selezionati casualmente con ripetizione
\(S = X_1 + \cdots + X_{10}\) ha distribuzione binomiale con media
\(\mu_S = n p = 10 \cdot 0.4 = 4\) e deviazione standard \[
\sigma = \sqrt{n p (1-p)} = \sqrt{4 \cdot 0.6} = 1.549.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{12}
\tightlist
\item
  Una statistica campionaria tale che la media dei valori che può
  assumere nellʹuniverso dei campioni è uguale al valore del parametro
  della popolazione che vuole stimare è uno stimatore corretto. Vero (T)
  o Falso (F)?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Sì è la definzione esatta.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{13}
\tightlist
\item
  Se la covarianza tra due variabili casuali \(X\) e \(Y\) è positiva,
  allora \(\mathrm{var}(X - Y)\) è più grande di
  \(\mathrm{var}(X + Y)\). Vero (T) o Falso (F)?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Poiché \(\sigma_{XY} \ge 0\) \[
\mathrm{var}(X - Y) = \sigma^2_X + \sigma^2_Y - 2 \sigma_{XY} \le 
 \sigma^2_X + \sigma^2_Y + 2 \sigma_{XY}  = \mathrm{var}(X + Y)
\] Quindi Falso.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{14}
\tightlist
\item
  Da un'indagine condotta su 472 operai, è risultato che il 63\% pensa
  di aderire ad uno sciopero sindacale nei prossimi tre mesi. Quali dei
  seguenti intervalli rappresenta un intervallo di confidenza al 98\%
  per la proporzione degli operai che hanno pianificato di aderire ad
  uno sciopero nei prossimi tre mesi?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(0.63 \pm 0.042\)
\item
  \(0.63 \pm 0.052\)
\item
  \(0.63 \pm 0.047\)
\item
  \(0.63 \pm 0.057\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Il margine di errore (per grandi campioni) è \[
ME = z_{0.01} \sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}  = 2.326 \sqrt{0.63(1-0.63)/472} = 0.052
\] Nota che il livello di confidenza è \(1 - \alpha = 0.98\) da cui
\(\alpha/2 = 0.01\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{15}
\tightlist
\item
  Un dirigente esamina i vestiti da lavoro presenti nel suo armadio. Ha
  cinque abiti (giacca e pantalone), sei camicie e tre paia di scarpe.
  Poiché è in partenza per un viaggio, decide di prenderne due di ogni
  tipo (due abiti, due camicie, due paia di scarpe). Quante sono le
  possibili combinazioni di completi (abito+camicia+scarpe)?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  680
\item
  320
\item
  224
\item
  450
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Sono \[
\binom{5}{2}\binom{6}{2}\binom{3}{2} = (10)(15)(3)  = 450.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{16}
\tightlist
\item
  Il tempo di attesa ad un ufficio postale è approssimativamente
  distribuito come una variabile casuale uniforme tra 0 e 120 secondi.
  Calcolare la probabilità di dover aspettare il vostro turno tra 15 e
  45 secondi.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.25
\item
  0.45
\item
  0.35
\item
  0.15
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

La probabilità è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo \[
p = \frac{45-15}{120-0} = 0.25.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{17}
\tightlist
\item
  Supponiamo di lanciare due dadi. Si consideri la somma dei due dadi:
  sia \(E\) l'evento: ``si osserva un numero pari'' e \(G\) l'evento:
  ``si osserva un numero maggiore di 7''. Qual è l'evento
  \(\bar E \cup \bar G\)?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11\}
\item
  \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}
\item
  \{2, 4, 6\}
\item
  \{3, 5, 7\}
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\(E = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\), \(G = \{8, 9, 10, 11, 12\}\). Quindi \[
\bar E = \{3, 5, 7, 9, 11\}, \qquad \bar G = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}
\] e dunque \[
E \cup G  = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11\}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{18}
\tightlist
\item
  Un'ipotesi nulla è rifiutata a livello di significatività 0.025, ma
  non ad un livello di 0.01. Ciò significa che il p-value del test è
  compreso tra 0.01 e 0.025. Vero (T) o Falso (F)?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Vuol dire il p-value è minore di 0.025 e maggiore di 0.01. Vero.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{19}
\tightlist
\item
  Il tempo impiegato per evadere un'ordinazione in una pizzeria è
  distribuito normalmente con media 4.1 minuti e deviazione standard 1.3
  minuti. Qual è la probabilità che il tempo di attesa medio di un
  campione casuale di 10 clienti sia compreso tra 4.0 e 4.2 minuti?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\(\bar X \sim N(4.1, 1.3/\surd 10 )\) quindi

\[
P(4.0 \le X \le 4.2) = P\left(\frac{4 - 4.1}{0.4110961} \le Z \le \frac{4.2 - 4.1}{0.4110961} = 
\right) = P(-0.24 \le Z \le 0.24) = F(0.24) - (1 - F(0.24)) = 0.1896.
\]

\section{Compito F del 7 giugno 2012}\label{compito-f-del-7-giugno-2012}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  L'azienda produttrice di sacchi di cemento afferma che ciascun sacco
  contiene almeno 50.1 kg di cemento. La deviazione standard della
  quantità di cemento contenuta in ciascun sacco è 1.2 kg. La regola di
  decisione adottata dall'azienda è di mettere in manutenzione una
  macchina riempitrice se la media campionaria della quantità di cemento
  in un campione di 40 sacchi è inferiore a 49.7. Qual è la probabilità
  di commettere un errore del primo tipo?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.024
\item
  0.017
\item
  0.030
\item
  0.036
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Affermazione: \(\mu \ge 50.1\) dove \(\mu =\) quantità media di cemento.
Questa è l'ipotesi \(H_0\) perché contiene il segno di uguaglianza. La
deviazione standard \(\sigma = 1.2\) è per la popolazione perché ancora
non è stato estratto nessun campione. La regola di decisione è: rifiuta
(e metti in manutenzione la macchina) se \[
\bar X < 49.7 \text{ in un campione di 40 sacchi.} 
\] La probabilità di commettere errore del I tipo è il p-value associato
alla media \(49.7\).

La statistica test per \(H0: \mu \ge 50.1\) contro \(H_1: \mu < 50.1\) è
\[
Z = \frac{\bar X - 50.1}{1.2/\sqrt{40}} \sim N(0,1) 
\] Ora se \(\bar X = 49.7\) \[
Z = (49.7 - 50.1)/ (1.2/\sqrt{40}) = -2.11
\] Il p-value è \[
P(Z \le -2.11)  = 1 - P(Z < 2.11)  = 1 - 0.9826 = 0.0174.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  La probabilità che una persona prenda il raffreddore durante l'inverno
  è 0.4. Si selezionano a caso 10 persone. Qual è la probabilità che
  esattamente 4 di loro prenderanno il raffreddore?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.242
\item
  0.251
\item
  0.502
\item
  0.751
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Sono 10 prove di Bernoulli indipendenti ciascuna con
probabilità \(p = 0.4\) e \(q = 0.6\). Se \(X\) è il numero di
``successi'' \[
P( X = 4) = \binom{10}{4} p^4 q^6 = 210 \cdot (0.4^4)(0.6^6) = 0.251.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Il responsabile della lotteria nazionale ha dichiarato che il reddito
  medio familiare annuo di coloro che giocano alla lotteria è superiore
  a 37000 euro. Si suppone che la distribuzione del reddito di tale
  categoria di individui si distribuisca normalmente con deviazione
  standard di 5756 euro. Si supponga che in un campione di 25 famiglie
  che giocano alla lotteria si sia rilevato un reddito medio annuo pari
  a 36243 euro.Qual è la statistica test osservata?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Z = \(-0.66\)
\item
  Z = \(1.92\)
\item
  t = \(0.66\)
\item
  t = \(1.92\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Affermazione: \(\mu > 37000\). È l'ipotesi
alternativa perché non contiene l'uguaglianza. Quindi
\(H_0: \mu \le 37000\). La popolazione è \(N(\mu, \sigma = 5756)\). La
media campionaria è \(\bar X = 36243\) su 25 osservazioni. La statistica
test è \[
Z = (36243 - 37000)/(57/\sqrt{25}) = -0.66.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Se si rifiuta l'ipotesi nulla contro l'ipotesi alternativa ad un
  livello di significatività del 5\% , allora, con gli stessi dati deve
  essere rifiutata anche ad un livello di significatività dell'1\%. Vero
  o Falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Falso perché se si rifiuta al livello del 5\% vuol
dire che possiamo commettere errore del primo tipo anche 5 volte su 100.
In tal caso violeremmo il criterio di un test che richiede un livello di
errore minore dell'1\%.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  L'U.S. Postal Service afferma che almeno il 63.4\% di un certo
  pubblicità postale viene letta dai destinatari. Un gruppo
  ambientalista vuole verificare tale affermazione. Intervistano un
  campione casuale di 220 famiglie ed osservano che solo il 58.7\% legge
  la pubblicità. Dovremmo credere all'affermazione dell'U.S. Postal
  Service ad un livello di significatività del 10\%?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Affermazione: la proporzione di successi è \(p \ge 63.4\%\). È l'ipotesi
nulla perché contiene l'uguaglianza. Dunque il sistema di ipotesi è
\(H_0: p > 0.634\) contro \(H_1: p < 0.634\).

La statistica test usa l'approssimazione normale \[
Z  =  \frac{0.587 - 0.634}{\sqrt{\displaystyle\frac{0.634(1-0.634)}{220}}} = -1.447
\] La regione critica è \(Z < -z_{0.1} = -1.282\). Poiché il valore
osservato \(-1.447\) cade nella regione critica si rifiuta
l'affermazione.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\tightlist
\item
  Data la seguente distribuzione delle famiglie per classi di spesa
  mensile (in migliaia di euro), disegnare un istogramma. \[
  \begin{array}{lccccccc}
  \text{Classi di spesa} & 0 \dashv 0.5 &  0.5\dashv1 &  1 \dashv1.5 & 1.5\dashv 2 &  2 \dashv 2.5 & 2.5 \dashv 3 & 3 \dashv 3.5\\
  \text{\% famiglie} & 20 &  30 &  25 &  15 &  7 &  2 & 1 \\
  \end{array}
  \]
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\includegraphics[width=3in]{compiti_files/figure-latex/h-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  La covarianza tra due variabili \(X\) e \(Y\):
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  è compresa tra \(-1\) e \(+1\).
\item
  può essere positiva o negativa.
\item
  è sempre positiva.
\item
  è sempre minore di \(1\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falso: i limiti sono \(\pm \sigma_X \sigma_Y\)
\item
  Vero
\item
  Falso
\item
  Falso
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{7}
\tightlist
\item
  Il numero di televisioni che escono ogni giorno da una certa linea di
  produzione si distribuisce come una variabile casuale con deviazione
  standard di \(17.4\). La media giornaliera della linea di produzione
  determinata su un campione di \(20\) giorni è \(452.3\). Quale dei
  seguenti intervalli rappresenta un intervallo di confidenza del 95\%
  per la media della produzione in un giorno?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(453 \pm 9.4\)
\item
  \(452.3 \pm 13.8\)
\item
  \(452.3 \pm 11.3\)
\item
  \(452.3 \pm 7.63\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} \(X \sim ?(\mu = ?, \sigma = 17.4)\). In un campione
con \(n = 20\) \(\bar X = 452.3\). Se \(X\) fosse normale l'intervallo
di confidenza sarebbe \[
\bar X \pm 1.96 \sigma/\surd n = 452.3 \pm 1.96 17.4/\sqrt{20} = 
452.3 \pm 7.63.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{8}
\item
  Un analista finanziario fornisce le stime dell'utile di un'azienda nel
  prossimo anno, considerando anche il tasso di interesse. Qual è la
  probabilità che l'azienda realizzi un utile di almeno l'8\%? \[
  \begin{array}{lcrrr}
  \text{Tasso di interesse}  &  \text{Utile:} & < 8\% & \text{da 8 a 12\%} & > 12\% \\ \hline 
  < 3\%                &       & 0.09 & 0.15 & 0.16 \\
  \text{ da 3\% a 5\%} &       & 0.14 & 0.17 & 0.05 \\
  < 5\%                 &      & 0.16 & 0.07 & 0.01 \\ \hline
  \end{array}
  \] La somma delle probabilità è 1 e quindi è una tavola congiunta di
  probabilità. \[
  P(\text{Utile} \ge 8\%)  = 1 - (0.09 + 0.14 + 0.16) = 0.61.
  \]
\item
  Un professore ha raccolto dati sul numero di assenze ad un corso
  introduttivo di Statistica della durata di un semestre in una classe
  di 100 studenti. I dati sono raccolti nella tabella seguente. Qual è
  la media del numero di assenze per semestre? \[
  \begin{array}{lrrrrrrr}
  \text{\# di assenze} & 0 &1 &2 & 3 &4 &5 &6\\
  \text{\# di studenti} & 5 &13 &24& 23& 17& 11& 7\\
  \end{array}
  \]
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  3.07
\item
  2.95
\item
  3.14
\item
  2.00
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} La media è = numero totale assenze / numero totale di
studenti. Quindi \[
\bar x  = \frac{1}{100}(0 \cdot 5 + 1 \cdot 13 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot 23 + 4 \cdot 17 + 5 \cdot 11 + 6 \cdot 7) = 295/100 = 2.95.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{10}
\tightlist
\item
  Se A e B sono mutuamente esclusivi allora \(\bar A\) e \(\bar B\)
  devono essere mutuamente esclusivi. Vero o falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Falso perché per esempio essere divorziato e essere
sposato sono mutuamente esclusivi ma non essere divorziato e non essere
sposato non sono mutuamente esclusivi perché uno potrebbe essere single.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{11}
\tightlist
\item
  Sia \(X\) una variabile casuale normale con media \(\mu\) e deviazione
  standard \(\sigma\). Sia \(\bar X\) la media di un campione casuale
  selezionato dalla popolazione descritta dalla variabile casuale \(X\).
  Quale delle seguenti affermazioni è vera?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\item
  \(P(\bar X < \mu + \sigma /\sqrt{n}) < P(\bar X < \mu - \sigma/\sqrt{n})\)
\item
  \(P(\bar X < \mu + \sigma/(2 n)) < P(\bar X < \mu + \sigma/n)\)
\item
  \(P(\bar X < \mu + \sigma/\surd n) = P(\bar X < \mu -\sigma/\surd n)\)
\item
  \(P(\bar X < \mu - \sigma/(2 n)) < P(\bar X < \mu - \sigma/n)\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Siccome \(Z = \bar X - \mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1)\) le
affermazioni si possono tradurre come segue

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(P(Z < 1) < P(Z < -1)\): Falsa
\item
  \(P(Z < \surd n/(2n) < P(Z < \surd n/ n)\): Vera
\item
  \(P(Z < 1) = P(Z< -1)\): Falsa
\item
  \(P(Z < - \surd n/(2n)) < P(Z < -\surd n/ n)\): Falsa.
\end{enumerate}

Esercizio difficile!

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{12}
\tightlist
\item
  L'errore di stima è la differenza tra il valore di una statistica
  determinata su un campione ed il corrispondente valore del parametro
  determinato nella popolazione. Vero o Falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Vero, è \(T - \theta\). Per esempio per la media è
\(\bar X - \mu\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{13}
\tightlist
\item
  Un test a risposta multipla ha 5 domande, ognuna con 5 possibili
  risposte da A a E. Supponi di tirare a caso per tutte le domande. Qual
  è la probabilità di rispondere correttamente a tutte le domande?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.20
\item
  0.50
\item
  0.00032
\item
  0.03125
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

È la probabilità di avere 5 successi su 5 prove ciascuna delle quali ha
probabilità \(p = 1/5 = 0.2\). Quindi dato che le prove sono
indipendenti si ha \(p^5 = 0.2^5 = 0.00032\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{14}
\tightlist
\item
  Il grafico della variabile casuale binomiale è sempre simmetrico. Vero
  o Falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Falso. Il diagramma a barre è simmetrico solo se la
probabilità di successo è \(p = 5\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{15}
\tightlist
\item
  Un portafoglio comprende 20 azioni ALFA e 30 azioni BETA. Il prezzo
  delle azioni ALFA è una variabile casuale con media 10 e varianza 9,
  il prezzo delle azioni BETA è una variabile casuale con media 25 e
  varianza 16. I prezzi delle due azioni sono correlati negativamente
  con un coefficiente di correlazione lineare pari a \(-0.4\). Calcolare
  il valore atteso e la varianza del valore del portafoglio.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Il valore del portafoglio è \(X = 20 A + 30 B\). Il valore atteso è \[
E(X) = 20 E(A) + 30 E(B) = 20 \cdot 10 + 30 \cdot 25 = 200 + 750 = 950.
\] La varianza è \[
\sigma^2[20 E(A) + 30 E(B)] = 20^2 \sigma^2(A)  + 30^2 \sigma^2(B) + 
2 \cdot 20\cdot 30 \sigma(A,B)
\] poiché la covarianza tra \(A\) e \(B\) è \[
\sigma(A,B) = \rho(A,B) \sigma(A)\sigma(B) = -0.4 \cdot 3 \cdot 4 = -4.8
\] avremo \[
\sigma^2[20 E(A) + 30 E(B)] = 400 \cdot 9  + 900 \cdot 16  + 1200 \cdot (-4.8) = 
12240.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{16}
\tightlist
\item
  Una squadra di manutenzione è responsabile di un certo tratto di
  oleodotto lungo 4 chilometri. La distanza (in chilometri) alla quale
  può verificarsi un guasto può essere rappresentato da una variabile
  casuale continua uniforme. Specificare la funzione di densità e
  calcolare la probabilità che si verifichi un guasto tra 0 e 1 km.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} La densità uniforme è \(f(x) = 1/4\) per
\(x \in [0,4]\). La probabilità è \[
\Pr(0< X<1) = 1/4
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{17}
\tightlist
\item
  Sia \(X\sim N(2,1)\). La differenza interquartile è pari a
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.2266
\item
  2.78
\item
  \(-4\)
\item
  1.34
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} La differenza interquartile di una \(N(0,1)\) è
\(Q_3 - Q_1\) dove \(P(Z < Q_3) = 0.75\) e \(P(Z < Q_1) = 0.25\). Dalle
tavole si vede che \(P( Z < 0.67) = 0.75\). Quindi
\(P(Z < -0.67) = 0.25\). Fate un disegno!

Allora la differenza interquartile è
\(IQR = 0.67 - (-0.67) = 2 \cdot 0.67 = 1.34\).

La differenza interquartile della normale \(N(2, 1)\) è la dispersione
di una normale ottenuta spostando la normale standard a destra di 2.
Quindi la dispersione resta la stessa ed è uguale a \(1.34\). Volendo
verificare precisamente, basta notare che se \(X \sim N(2, 1)\)
\(P(X < 2 + 0.67) = 0.75\) e \(P( X < 2 - 0.67) = 0.25\). Quindi lo
scarto interquartile è \(IQR = (2 + 0.67) - (2 - 0.67) = 1.34\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{18}
\tightlist
\item
  Il tempo che gli studenti dedicano allo studio segue una distribuzione
  normale con deviazione standard di 8 ore. Si estrae un campione
  casuale di 4 studenti. La probabilità che la media campionaria
  differisca dalla media della popolazione per più di 4ore è
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.2987
\item
  0.3080
\item
  0.3174
\item
  0.3085
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Se \(X \sim N(\mu, \sigma = 8)\) la media in un
campione di \(n = 4\) ha distribuzione \(\bar X \sim N(\mu, 8/2 = 4)\).
Perciò la probabilità che la media campionaria differisca da \(\mu\) per
più di 4 è \[
P(| \bar X - \mu | > 4)  = P(|\bar X - \mu| / 4 > 1) = P(|Z| > 1)
\] dove \(Z ~ N(0,1)\).

Quindi si ha \(2(1 - P(Z < 1)) = 2 (1 - 0.8413) = 0.3174\). Risposta C.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{19}
\tightlist
\item
  La media è una misura di tendenza centrale migliore della mediana
  quando ci sono valori anomali. Vero o Falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} È esattamente il contrario. Falso.

\section{Compito H del 7 giugno 2012}\label{compito-h-del-7-giugno-2012}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Una variabile è classificata come ordinale se:
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  I dati si ottengono con un processo di misurazione continuo
\item
  Esiste un ordinamento naturale delle sue modalità
\item
  Osserviamo la variabile per un periodo di tempo
\item
  Non esiste un ordinamento naturale delle sue modalità
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Una variabile si dice ordinale se esiste un ordinamento naturale delle
modalità. Per esempio la religione non è ordinale, mentre il livello di
istruzione sì. Quindi la risposta è B).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Quale delle seguenti affermazioni è vera?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  La media è sempre più piccola della mediana.
\item
  La deviazione standard è sempre più piccola della varianza.
\item
  La somma degli scarti dalla media è sempre zero.
\item
  La somma degli scarti al quadrato dalla media è sempre zero.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\item
  FALSO, può capitare tranquillamente il contrario. Per esempio
  \(\{1, 2, 30\}\) ha media 11 e mediana 2.
\item
  FALSO, poiché la dev. st. è la radice della varianza. Se la varianza è
  per esempio 0.25 la deviazione standard è 0.5 che è più grande.
\item
  VERO, perché \[
  \sum (x_i - \bar x) = \sum x_i  - \sum \bar x  = n \bar x - n \bar x = 0.
  \]
\item
  FALSO. È evidente che in generale gli scarti al quadrato sono positivi
  e quindi la loro somma non può essere zero a meno che tutti i dati non
  siano uguali.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Siete incaricati di organizzare il catering per un convegno. La vostra
  società è responsabile di tutti gli sprechi e quindi non volete
  ordinare troppi pasti che potrebbero non essere consumati. Supponiamo
  che il numero di persone partecipanti al convegno segua una
  distribuzione normale con valore atteso 84 e varianza 16. Qual è il
  numero di pasti che dovreste ordinare in modo tale che la probabilità
  di avere più persone che pasti sia del \(5\%\)?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Numero di persone che vanno al convegno
\(X \sim N(84, \sigma = 4)\). La domanda è ingannevole: i pasti sono la
stessa cosa delle persone. Se si fissano \(k = 84\) pasti per esempio la
probabilità che le persone siano più dei pasti è \(P(X > 84) = 0.5\)
perché \(84\) è la media. Qui invece si chiede trovare il numero di
pasti \(k\) tale che \(P(X > k) = 0.05\). Quantile 0.95.

Si standardizza ottenendo \[
P(Z > (k - 84)/4) = 0.05
\] Allora dalle tavole sappiamo che \((k-84)/4 = 1.645 = 90.58\). Qundi,
se si ordinano \(91\) pasti c'è la probabilità di solo il \(5\%\) di
avere più persone che pasti.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Si supponga che il punteggio medio ad un esame sia \(73\) con una
  deviazione standard di \(2\). In accordo con il teorema di Chebychev,
  al più il 60\% dei punteggi sono compresi nell intervallo tra 70 e 76.
  Vero o falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Per la diseguaglianza di Chebyshev \[
P( 70 < X < 76) = P(73 - 2 \sigma < X < 73 + 2 \sigma) \ge 0.75
\] Perciò l'affermazione ``al più il 60\% dei punteggi sono compresi
nell'intervallo tra 70 e 76'' è FALSA.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Un commercialista afferma di poter completare una dichiarazione dei
  redditi standard in meno di un ora. Per un campione di 24
  dichiarazioni, il commercialista impiega una media di 63.2 minuti con
  una deviazione standard di 7.7 minuti. Qual è la statistica test
  osservata?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  t = 2.04
\item
  Z = 1.79
\item
  Z = 2.04
\item
  t = 1.79
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} L'ipotesi nulla è \(\mu \ge 60\) min contro
\(H_1: \mu < 60\). Supponendo che il tempo per completare dichiarazione
sia distribuito normalmente con media e varianza incognita, si usa un
test t di Student. La statistica test è \[
t = (63.2 - 60)/(7.7/\surd 24) = 2.04.
\] La soluzione perciò è A) \(t = 2.04\) e non C) \(z = 2.04\) (test z)
perché 7.7 è la deviazione standard stimata e non quella della
popolazione normale.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\tightlist
\item
  Da un indagine condotta su 472 direttori del personale, è risultato
  che il 63\% pensa di assumere nuovo personale nei prossimi tre mesi.
  Quali dei seguenti intervalli rappresenta un intervallo di confidenza
  del 98\% per la proporzione dei direttori del personale che hanno
  pianificato di assumere nuovo personale nei prossimi tre mesi?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(0.63 \pm 0.042\)
\item
  \(0.63 \pm 0.047\)
\item
  \(0.63 \pm 0.057\)
\item
  \(0.63 \pm 0.052\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Se il livello è \(1-\alpha = 0.98\) \(\alpha = 0.02\)
e \(\alpha/2 = 0.01\).

Il margine di errore è \[
ME  = z_{\alpha/2} \sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}  = z_{0.01} \sqrt{0.63 \cdot 0.37/472}
 = 2.326 \cdot 0.02222287 = 0.052.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  In una recente indagine su 600 adulti, il 16.4\% ha dichiarato di
  essersi addormentato almeno una volta di fronte alla televisione nel
  mese scorso. Qual è il livello di confidenza associato all intervallo
  {[}12.88\%, 19.92\%{]}?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

La proporzione stimata è il punto centrale dell'intervallo cioè \[
 \hat p = (12.88 + 19.92)/2 = 16.4\% = 0.164.
 \] L'errore standard della stima è
\(ES = \sqrt{\hat p (1-\hat )/600} = 0.0151164.\)

\$ Il margine di errore è \[
ME = 1/2 Ampiezza = (19.92 - 12.88)/2 = 3.52 \%.
\] Poiché \(ME = z_{\alpha/2} ES\) risulta che \[
z_{\alpha/2} = ME/ES = 0.0352 /0.0151164 = 2.33.
\] Quindi \(P(Z > 2.33) = \alpha/2\). Dalle tavole della normale
\(P(Z> 2.33) = 0.01\) e quindi \(\alpha = 0.02\). Siccome il livello di
confidenza è \(1 - \alpha\) questo risulta \(1 - 0.02 = 0.98\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{7}
\tightlist
\item
  Un imprenditore ha installato una nuova fornace energeticamente più
  efficiente. Si stima che in un anno la nuova fornace ridurrà il costo
  dell energia per un importo che può essere visto come una variabile
  casuale con media Euro 265 e deviazione standard di Euro 55. Sulla
  base di ipotesi che ritenete necessarie formulare, trovare la media e
  la deviazione standard della riduzione del costo totale dell energia
  in un periodo di 5 anni.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Riduzione del costo = \(X\) con \(E(X) = 265\) e \(\sigma(X) = 55\). In
5 anni la riduzione del costo è \(5X\) dove si suppone che la riduzione
di costo sia costante ogni anno.

Quindi la media della riduzione del costo totale è
\(E(5 X) = 5 E(X) = 5\cdot 265 = 1325.\)

La varianza è \(\sigma^2(5 X) = 25 \sigma^2(X) = 25 \cdot 55^2\) ,
mentre la deviazione standard è \(5 \cdot 55 = 275\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{8}
\tightlist
\item
  Un gruppo locale di pianificazione dei trasporti è preoccupato per la
  mancanza di car-sharing per i pendolari. Temono che la proporzione di
  utilizzatori locali di car-sharing sia inferiore alla media nazionale,
  pari al 20\%. Un indagine su 356 guidatori locali rileva che il 18.7\%
  di loro usa il car-sharing. Quali sono le tue conclusioni,
  considerando un livello di significatività del 5\%?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Non c'è evidenza che la proporzione di utilizzatori locali di
  car-sharing non sia inferiore alla media nazionale.
\item
  C'è evidenza che la proporzione di utilizzatori locali di car-sharing
  sia inferiore alla media nazionale.
\item
  Non c'è evidenza che la proporzione di utilizzatori locali di
  car-sharing sia inferiore alla media nazionale.
\item
  C'è evidenza che la proporzione di utilizzatori locali di car-sharing
  non sia inferiore alla media nazionale.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

L'affermazione riguarda la proporzione \(p\) di utilizzatori e si può
scrivere come \(p < 0.2\). Questa ipotesi va contrapposta a \(p\ge 0.2\)
che avendo il segno di uguaglianza è l'ipotesi \(H_0\): \[
H_0: p \ge 0.2 \text{ contro } H_1: p < 0.2
\]

La statistica test è \[
 z = (0.187 - 0.2) / \sqrt{0.2 \cdot 0.8/356} = -0.61.
\] La regione critica al livello del 5\% è \(Z < -1.645\) quindi non si
rifiuta \(H_0\) cioè non c'è evidenza sufficiente per rifiutare \(H_0\).

Alcune domande contegono errori concettuali.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\item
  Non c'è evidenza che \(p\) non sia \(< 0.2\). L'evidenza può essere
  solo contro \(H_0\) non a favore di \(H_0\).
\item
  C'è evidenza che \(p < 0.2\), cioè contro \(H_0\). Falso.
\item
  Non c'è evidenza che p \textless{} 0.2. Questo e' VERO perché infatti
  abbiamo accettato \(H_0\).
\item
  C'è evidenza che p non sia \textless{} 0.2. Vedi A).
\end{enumerate}

La risposta corretta è C).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{9}
\tightlist
\item
  Nella seguente distribuzione di frequenza, qual è la frequenza
  cumulata mancante nella posizione occupata dall'asterisco?
\end{enumerate}

\[
\begin{array}{ccc}
\text{Modalità}    & \text{Frequenza} & \text{Perc. cumulata} \\ \hline
\le 12.8           &  1                & 5   \\
12.8 \dashv 41.6   & 5                & 30 \\
41.6 \dashv 70.4   & 6                & 60 \\
70.4 \dashv 99.2   & 6                &  * \\
> 99.2             & 2                &  100 \\ \hline
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  100\%
\item
  60\%
\item
  80\%
\item
  90\%
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Se \(x\) è la percentuale cumulata che manca è chiaro
che \[
x = (6 + 6 + 5 + 1)/(2 + 6 + 6 + 5 + 1) = 90\%
\] cioè D).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{10}
\tightlist
\item
  All'aumentare della dimensione del campione l'errore standard della
  media campionaria non cambia. Vero o falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} L'errore standard della media è \(\sigma/\sqrt{n}\)
quindi è chiaro che se aumenta la dimensione campionaria \(n\) l'ES
diminuisce. Perciò l'affermazione è FALSA.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{11}
\tightlist
\item
  Supponiamo di lanciare due dadi. Si consideri la somma dei due dadi:
  sia \(A\) l' evento ``si osserva un numero pari''. Qual è il
  complementare dell'evento \(A\)?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(\{1,3,5,7,9,11\}\)
\item
  \(\{3, 5, 7, 9, 11\}\)
\item
  \(\{8, 10, 11, 12\}\)
\item
  \(\{8, 9, 10, 11, 12\}\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} La somma di due dadi è
\(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). Se \(A\) è l'evento ``esce
un numero pari'' il complementare è ``esce un numero dispari''. Quindi
\(\bar A= \{3, 5, 7, 9 , 11\}\). Risposta B).

La risposta A) è sbagliata perché contiene \(1\) che è dispari ma non
può capitare.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{12}
\tightlist
\item
  Il 30\% delle famiglie ha un lettore DVD. Supponi di selezionare 20
  famiglie casualmente. In media quante tra le 20 famiglie selezionate
  ti aspetti abbiano il lettore DVD? Qual è la deviazione standard del
  numero di famiglie con lettore DVD?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} \(p = 0.3\), \$X = \$ numero di famiglie su 20 che
hanno il DVD. \(X\) è Binomiale con indice \(n = 20\) e \(p = 0.3\).
Perciò la media è \(E(X) = np = 20 \cdot 0.3 = 6\) famiglie. La
deviazione standard è
\(\sqrt{n p q} = \sqrt\{ 6 \cdot 0.7\} = 2.04939\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{13}
\tightlist
\item
  Aumentando il livello di significatività di un test, la probabilità
  dell'errore del II tipo aumenta. Vero o falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Il livello è \(\alpha = P(I)\). è noto che
all'aumentare di \(\alpha\) \(\beta = P(II)\) dimnuisce. Vero.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{14}
\tightlist
\item
  Il processo di rifinitura di mobili nuovi lascia piccole imperfezioni.
  La tabella seguente mostra la distribuzione di probabilità del numero
  di difetti stimata dall'azienda produttrice. \[
  \begin{array}{lrrrrrr}
  \text{N. di difetti} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
  \text{Probabilità}   & 0.34 & 0.25 & 0.19 & 0.11 & 0.07 % 0.044 \\
  \end{array}
  \] In media quanti difetti ci sono su un mobile?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.28
\item
  0.85
\item
  1.44
\item
  0.77
\end{enumerate}

\textbf{Soluzioe} La media di una variabile aleatoria si calcola come
una media ponderata: \[
0 \cdot 0.34 + 1 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.19 + 3 \cdot 0.11 + 4 \cdot  0.07 + 5 \cdot 0.04 =  1.44,
\] risposta C).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{15}
\tightlist
\item
  Quale delle seguenti affermazioni è vera?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Il campo di variazione (range) è la misura di variabilità più utile
\item
  Le misure di variabilità sono numeri che descrivono il grado di
  dispersione dei valori osservati.
\item
  La media ponderata è la misura di variabilità più utile.
\item
  Tutte le affermazioni precedenti sono vere.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} A) FALSO, altre misure come la deviazione standard o
lo scarto interquartile sono più usate B) VERO. Dispersione è sinonimo
di variabilità. C) FALSO. La media non è una misura di variabilità, ma
di posizione. D) Ovviamente è FALSO perché B) è VERA.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{16}
\tightlist
\item
  Un Internet café ha 4 computer. La probabilità che in un dato momento
  un computer sia libero è 0.4. Si assuma indipendenza. Qual è la
  probabilità che tutti i computer siano occupati?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} È come calcolare la probabilità di 4 successi su 4
prove indipendenti ciascuna delle quali ha probabilità di successo p =
0.6 (probabilità di essere occupato). Questa probabilità è \[
P(X = 4) = \binom{4}{4} 0.6^4 \cdot  0.4^0 = 1 \cdot  0.6^4  \cdot 1 =  0.1296.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{17}
\tightlist
\item
  Uno stimatore è una variabile casuale calcolata su un campione casuale
  che fornisce la stima puntuale per il parametro della popolazione.
  Vero o falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} È esattamente la definizione di uno stimatore che è
una sintesi dei dati campionari che fornisce la stima puntuale di un
parametro della popolazione. VERO.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{18}
\tightlist
\item
  Se \(X\) e \(Y\) sono due variabili casuali tali che \(Y = a + bX\),
  allora \(\mu_Y = a + b \mu_X\). Vero o falso?
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} Se \(Y = a + bX E(Y) = E(a + bX) = a + b E(X)\). È
una proprietà del valore atteso. VERO.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{19}
\tightlist
\item
  Se \(Z\tilde N(0,1)\), allora \(P(-1.25 < Z < -0.75)\) è:
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.6678
\item
  0.1210
\item
  0.2266
\item
  0.1056.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione} \[
P(-1.25 < Z < -0.75) = P(0.75 < Z< 1.25) = P(Z < 1.25) - P(Z < 0.75) =  0.89435  - 0.773373 = 0.1210. 
\] Risposta B).


\end{document}
