HW 3.

n. 9

Quello che viene richiesto è espresso male. Ignorare l’esercizio.

n.15

  • \(A\) = operaio favorevole alla modifica del piano di assistenza

  • \(B\) = operaio favorevole alla modifica dell’orario

\[ P(A) = 0.44, P(B) = 0.19, P(B | A) = 0.28 \text{(probabilità condizionata)} \]

  1. \(P(A \cap B) = P(B | A ) P(A) = 0.28 \cdot 0.44 = 0.1232\)

  2. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.44 + 0.19 - 0.1232 = 0.5068\).

n.17

\(MA =\) il marito guarda la tv; \(MO =\) la moglie guarda la tv.

Dati: \[ P(MA) = 0.9; P(MO | MA) = 0.5 \] NOTA: Quest’ultima è una probabilità condizionata ma il testo la fa sembrare una probabilità congiunta! (Dice: “il 50% delle volte anche la moglie guarda la TV insieme al marito”.) \[ P(MO | \bar{MA}) = 0.4 \]

Quindi si chiede \[ P(MA | MO) = P(MO|MA)P(MA) / [ P(MO|MA)P(MA) + P(MO | \bar{MA})P(\bar{MA})] \]

La soluzione consiste nell’usare la regola di Bayes. Basta sostituire e si ottiene \[ P(MA | MO) = \frac{0.5 \cdot 0.9}{0.5\cdot 0.9 + 0.4 \cdot 0.1} = 0.918. \]

HW 4

n.16

  1. \(E(X) = 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.85 = 1.85\). \(E(Y) = 0 \cdot 0.15 + 1 \cdot 0.85 = 0.85\). Quindi \[ E(W) = E(11 X - 8 Y) = 11 E(X) - 8 E(Y) = 11 \cdot 1.85 - 8 \cdot 0.85 = 13.55. \] Inoltre \(\mathrm{var}(X) = \mathrm{var}(Y) = E(X^2) - E(X)^2 = 0.15\cdot 0.85 = 0.1275.\) E da b. risulta \(\mathrm{cov}(X,Y) = 0.1275\). Quindi \begin{align*} \mathrm{var}(W) &= \mathrm{var}(11 X - 8 Y) \\ &= 112 \mathrm{var}(X) + 82 \mathrm{var}(Y) - 2 \cdot 11 \cdot 8 \mathrm{cov}(X,Y)\\ &= 121 \cdot 0.1275 + 64 \cdot 0.1275 - 176 \cdot 0.1275 = 1.1475. \end{align*}

HW 5

n. 4

Una scrittrice sottoscrive con il suo editore un contratto che le garantisce una somma fissa di 9000 più 2.25 per ogni copia venduta del suo libro. La sua incertezza sul numero totale di copie vendute può essere rappresentata da una variabile aleatoria con media di 30000 e deviazione standard di 8500. Trova la media e la deviazione standard della somma che la scrittrice riceverà complessivamente.

Soluzione

Copie vendute = \(X\). Compenso totale = \(9000 + 2.25 X\). Quindi \[ \mu_{tot} = 9000 + 2.25 \cdot 30000 = 76500 \] e \[ \sigma_{tot} = \sqrt{\mathrm{var}(9000 + 2.25 X)} = \sqrt{2.25^2 \mathrm{var}(X)} = 2.25 \cdot \sigma_X = 19125. \]

n. 7

Le previsioni sulla domanda di un certo prodotto, per il prossimo mese, possono essere rappresentate da una variabile aleatoria normale con media 1100 unità e deviazione standard 90 unità.

  1. Qual è la probabilità che le vendite superino le 900 unità?
  2. Qual è la probabilità che le vendite si collochino tra le 1000 e 1200 unità?
  3. Qual è il numero di unità vendute che ha probabilità 0.15 di essere superato?

Soluzione

  1. \(P(X > 900) = P(Z > (900-1100)/90) = P(Z > -2.22) = P(Z < 2.22) = 0.9868\).

  2. $ P(1000 < X < 1200) = P((1000 -1100)/90 < Z < (1200-1100)/90) = P(-1.11 < Z < 1.11) = F(1.11) - (1 - F(1.11)) = 0.7330$.

  3. Si cerca il \(k\) take che \(P(X > k) = 0.15\) cioè \[ P(X \le k) = 0.85 = P(Z \le (k - 1100)/90) = 0.85 \] Quindi dalla tavola 1 poiché \[ P(Z \le 1.035) \simeq 0.85 \] dovremo avere \[ (k - 1100)/90 = 1.035 \] e \(k = 1100 + 90 \cdot 1.035 = 1193.0\)

Il numero di unità vendute che ha la probabilità 0.15 di essere superato è 1193.0.

n. 9

Dato un campione casuale di dimensione \(n = 4900\) estratto da una popolazione distribuita secondo una bernoulliana con \(p = 0.50\)

  1. Trova la probabilità \(P(X > 2480)\)
  2. Trova la probabilità \(P(X < 2390)\)
  3. Trova la probabilità \(P(2445 < X < 2520)\)
  4. Qual è il numero di successi che ha probabilità 0.10 di non essere superato?
  5. Qual è il numero di successi che ha probabilità 0.09 di essere superato?

Soluzione Abbiamo che \(X \approx N(np, npq) = N(\mu = 2450, \sigma^2 = 1225)\)

  1. \(P(X > 2480) = P(Z > (2480 - 2450)/35) = P(Z > 0.86) = 1- F(0.86) = 0.1949.\)

  2. \(P(X < 2390) = P(Z < (2390 - 2450)/35) = F(-1.71) = 1 - F(1.71) = 0.0436.\)

  3. \(P(2445 < X < 2520) = P((2445-2450)/35 < Z < (2520-2450)/35) = P(-0.14 < Z< 2) = F(2) - [1-F(-0.14)] = 0.5329.\)

  4. \(P(X < k) = 0.1\). Quindi \(P(Z< (k-2450)/35) = 0.1\), e poiché \[ P(Z > 1.282) = 0.1 \Rightarrow P(Z < -1.282) = 0.1 \] deve essere \((k-2450)/35 = -1.282\) e quindi \(k = 2450 - 1.282 \cdot 35 = 2405.\)

  5. \(P(X > k) = 0.09\) Quindi \(P(Z > (k-2450)/\sqrt{1125}) = 0.09\). Quindi dato che sulle tavole si vede che \(P(Z < 1.345) \simeq 0.91\) deve essere (k-2450)/35 = 1.345$ e quindi \(k = 2450 + 1.345 \cdot 35 = 2497\).

10.

Dato un campione casuale di dimensione \(n = 900\) estratto da una popolazione distribuita secondo una bernoulliana con \(p = 0.30\),

  1. Trova la probabilità che il numero di successi sia maggiore di 305.
  2. Trova la probabilita’ che il numero di successi sia minore di 260.
  3. Trova la probabilita’ che il numero di successi sia compreso tra 250 e 297.
  4. Qual è il numero di successi che ha probabilità 0.30 di non essere superato?
  5. Qual è il numero di successi che ha probabilità 0.08 di essere superato?

Soluzione Il numero di successi \(X\) su \(900\) prove è Binomiale e approssimativamente \(X \approx N (\mu = (900)(0.3) = 270, \sigma^2 = (900)(0.3)(0.7) = 189\)

  1. \(P(X > 305) = 1 - P(X \le 305) = 1- F((305-270)/13.75) = 1- 0.9946 = 0.0055\)
  2. \(P(X < 260 ) = P(Z < (260-270)/13.75) = F(-0.73) = 0.2335.\)
  3. \(P(250 < X< 297) = F((297-270)/13.75)- F((250-270)/13.75) = 0.9752 - [1- 0.9271] = 0.9021\)
  4. \(P(X < k) = 0.3\).

\(P(Z < k) = 0.3\) si ha per \(k = -0.525\) perché sulle tavole si vede che \(F(0.52) = 0.6985\) e \(F(0.53) = 0.7019\). (Fate la figura: il segno va cambiato!)
Allora \((k - 270)/13.75 = -0.525\) e quindi \(k = 270 - 0.525 \cdot 13.75 = 262.8 \simeq 263\).

  1. \(P(X > k) = 0.08\) è equivalente a \(P(X < k) = 0.92\). Poiché dalle tavole si vede che \(P(Z < 1.405) = 0.92\) deve essere \(k = 270 + 1.405 \cdot 13.75 = 289.3 \simeq 289.\)

HW 7

n. 10

  1. Potenza \[ P(\text{rifiutare } H_0 \text{ se } H_0 \text{ falsa perché } \mu = 49) \] cioè \[ P[ \frac{\bar X - 50}{ES} < -1.28; \mu = 49] = P[\frac{\bar X - \mu}{ES} + \frac{\mu - 50}{ES} < -1.28] \] cioè se \(\mu = 49\) e \(ES = 1\), la potenza è \[ P[Z + (49 - 50) < -1.28] = P(Z < -0.28) = 0.3897. \]

n. 11

  1. La probabilità di accettare \(H_0\) quando \(\mu = 3.95\) è \[ P[ -1.645 \le \frac{\bar X - 4}{ES} \le 1.645; \mu = 3.95] \] Allora è uguale a \[ P[ -1.645 \le \frac{\bar X - \mu}{ES} + \frac{\mu - 4}{ES} \le 1.645] = P[-1.645 \le Z + \frac{3.95- 4}{ES} \le 1.645] \] cioè poiché \(ES = 1.38/\sqrt{1590} = 0.03460832\)

\[ P[-1.645 + 1.445 \le Z \le 1.645 + 1.445] = P(-0.2 \le Z \le 3.09) = 0.5783. \]

n. 12

  1. Probabilità di corretto rifiuto di \(H_0\) se \(p_1 = 0.24\). Prima trovi il valore critico che in questo caso è \[ p_c = p_0 - 1.28 \cdot ES \] al livello del 10%. Si rifiuta se \(Z < p_c\).

In questo caso \[ p_c = 0.25 - 1.28 \cdot 0.01396815 = 0.2321208 \] La potenza è \[ P\left( Z > \frac{p_c - p_1}{\sqrt{p_1(1-p_1)/n}}\right) \] Che risulta \[ P\left( Z > \frac{0.2321208 - 0.24}{\sqrt{0.26\cdot 0.76/961}}\right) = P(Z > -0.55) = 1 - P(Z \le 0.55) = 0.2912. \]