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  \title{Soluzioni di esercizi del libro}
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  \posttitle{\par}
  \author{a cura di Giovanni M. Marchetti}
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  \date{2016 ver. 1.0}

\begin{document}
\maketitle

{
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
}
\subsection{Capitolo 1. Introduzione}\label{capitolo-1.-introduzione}

\subsubsection{Esercizio 1.9}\label{esercizio-1.9}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Grafici e misure di sintesi.
\item
  Per esempio, la stima della soddisfazione media.
\item
  Per esempio, la relazione tra media e intenzione ad iscriversi.
\end{enumerate}

\subsection{Capitolo 2. Descrizione grafica dei
dati}\label{capitolo-2.-descrizione-grafica-dei-dati}

\subsubsection{Esercizio 2.1}\label{esercizio-2.1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Variabile numerica che deriva da un processo di conteggio:
  quantitativa discreta.
\item
  Variabile numerica espressa in valuta: quantitativa continua.
\item
  Come per b.
\item
  Variabile categorica, le cui categorie hanno una gerarchia tra le
  modalità: qualitativa ordinale.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 2.5}\label{esercizio-2.5}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Variabile categorica, qualitativa nominale
\item
  Variabile numerica, quantitativa discreta
\item
  Variabile categorica, qualitativa nominale
\item
  Variabile categorica, qualitativa nominale
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 2.7}\label{esercizio-2.7}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Hours each time: è una variabile numerica ricodificata in classi,
  perciò rappresenta una variabile qualitativa ordinale.
\item
  Tutte le variabili E-H. NB: le variabili dicotomiche o dummy (che
  possono assumere solo due modalità) si considerano sempre qualitative
  nominali.
\item
  Days/Week: il numero di giorni a settimana rappresenta una variabile
  quantitativa discreta.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 2.13}\label{esercizio-2.13}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Si tratta di una variabile quantitativa discreta. Per la distribuzione
  di frequenze si consiglia di costruire una tabella, con il carattere
  ricodificato in classi, indicando nella prima colonna le classi (in
  ordine crescente) e nella seconda colonna la frequenza di ogni
  modalità.
\end{enumerate}

Occorre innanzitutto scegliere il numero delle classi, tra 5 e 7. Si
scelga per esempio un numero di classi pari a 5 (ma è corretto anche
scegliere un numero diverso di classi!).

Per determinare l'ampiezza di ciascuna classe, occorre applicare la
formula: \[
w= \frac{\mathrm{Massimo}-\mathrm{Minimo}}{\mathrm{N. Classi}} = (65-12)/5 = 53/5 =10.6
\] È importante arrotondare sempre per eccesso l'ampiezza determinata
con la formula (in questo caso 11).

Le classi saranno dunque:

\begin{verbatim}
[12;23) [23;34) [34;45) [45;56) [56;67)
\end{verbatim}

La distribuzione di frequenze richiesta è:

\[
\begin{array}{crr}
\text{Classi} & \text{Frequenze} & \text{F. Relative} \%\\ \hline
12\vdash 23 &6  & 21 \\
23\vdash 34 &3   &11 \\
34\vdash 45 &10 & 36 \\
45\vdash 56 &2   & 7\\
56\vdash 67 &7  & 25\\ \hline
        & 28& 100 \\
\end{array}
\]

\subsection{Capitolo 3. Descrizione numerica dei
dati}\label{capitolo-3.-descrizione-numerica-dei-dati}

\subsubsection{Esercizio 3.1}\label{esercizio-3.1}

\[
\bar x = \frac{20+73+ 75 +80+82}{5} = 66
\]

Posizione centrale nella successione ordinata = (5+1)/3 = 3. Mediana =
75.

La moda non riusciamo a calcolarla perché tutte le modalità hanno
frequenza uguale.

Delle tre misure di sintesi, quella che descrive meglio i dati è la
mediana, poiché esiste un dato anomalo che sposta la media
eccessivamente verso il basso.

\subsubsection{Esercizio 3.5}\label{esercizio-3.5}

La media è \(\bar x = 20.74\). Per la mediana prima ordino i dati

\begin{verbatim}
10.2 13.1 15.0 15.8 16.9 17.3 18.2 24.7 25.3 28.4 29.3 34.7
\end{verbatim}

Quindi trovo la posizione centrale in questa graduatoria. Poiché il
numero di unità è pari, ci sono due posizioni centrali. Le trovo
calcolando \((n+1)/2 = (12 + 1)/2 = 6.5\). Quindi le posizioni sono la 6
e la 7. La mediana è la semisomma del sesto e del settimo valore in
graduatoria. Quindi Mediana = \((17.3 + 18.2)/2 = 17.75.\)

\subsubsection{Esercizio 3.14}\label{esercizio-3.14}

Il coefficiente di variazione è il rapporto tra deviazione standard e il
valore assoluto della media. Occorre dunque anzitutto calcolare queste
misure di sintesi. La media è \(\bar x = 9\). La deviazione standard è
(sono dati campionari e quindi si usa il denominatore \((n-1)\)) \[
s = \sqrt{\frac{10}{4}} = 1.5811.
\] Perciò il coefficiente di variazione è \[
\frac{s}{|\bar x|} = 1.5811/9 = 0.1757 = 17.57\%.
\]

\subsubsection{Esercizio 3.15}\label{esercizio-3.15}

Il numero di osservazioni è \(n = 24\). La successione in ordine
crescente è

\begin{verbatim}
12, 13, 13, 13, 14, 16, 20, 20, 23, 25, 26, 27, 27, 28, 29, 35, 37, 37, 40, 40, 40, 45, 49, 66   
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  La media è \(\bar x = 28.9583\) secondi.
\item
  La deviazione standard è \(s = 13.5694\) secondi.
\item
  Il minimo e il massimo sono 12 e 66. La mediana è la semisomma delle
  osservazioni al 12mo e 13mo posto. Siccome sono entrambi uguali a 27
  la mediana è 27. I quartili si possono calcolare analogamente con una
  formula spiegata sul libro. Siccome non è in programma non mi soffermo
  sui dettagli.
\item
  Il coefficiente di variazione (non confondete con il campo di
  variazione!) è \[
  CV = \frac{s}{|\bar x|} = 13.5694/28.9583 = 46.86\%.
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 3.27}\label{esercizio-3.27}

I dati rono raggruppati in classi. Quindi si calcolano i valori
approssimati di media e varianza definendo i punti centrali di classe
\(c_i\) e risulta \(\bar x = \sum_i c_i n_i /n = 505/40.\) La tabella
seguente è utile per fare i calcoli della varianza

\[
\begin{array}{crrrrrr}
\text{Classi} & \text{Freq} & c_i & \text{Freq} \times c_i & c_i - \bar{x} & (c_i - \bar{x})^2 & (c_i - \bar{x})^2 n_i \\  \hline
0-4       & 5       &    2    &   10     & -10.625 &   112.891 & 564.4531  \\
5-9       &  8      &   7     &   56     &  -5.625  &     31.641 & 253.1250\\
10-14  &  11    &   12   &  132   &  -0.625   &         0.391   & 4.2969\\
15-19  &   9     &  17    &  153    & 4.375    &        19.141   & 172.2656\\
20-24  &  7      &   22   &  154    & 9.375    &        87.891 &  615.2344\\ \hline
             & 40    &           & 505     &               &                      &  1609.3750\\
\end{array}
\] La varianza si calcola come

\[
\sum_i (c_i - \bar x)^2n_i/n = 1609.375/39 = 41.2661
\] dove abbiamo usato il denominatore \(n-1\). La deviazione standard è
6.42.

\subsubsection{Esercizio 3.30}\label{esercizio-3.30}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Somma del numero di richieste \(x\), numero di polizze =
  \(13 \cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 4 + 4 \cdot 2 + 5\cdot 3 + 6\cdot 2 = 70\).
  Quindi \[
  \bar x  = \frac{70}{50} = 1.4 \text{ polizze.}
  \] Per calcolare la varianza è meglio usare \[
  \sigma^2  =  \sum x_i^2n_i / N - \bar x^2  
  \] Quindi \[
  \sigma^2 = \frac{1\times 13 + 4 \times 5 + 9 \times 4 + 16 \times 2 + 25 \times 3 + 36 \times 2 }{50} - 1.4^2 
  \] e quindi \(\sigma^2 = \frac{258}{50} -1.4^2 = 3.\)
\end{enumerate}

Poiché i dati sono campionari si calcola la varianza corretta \[
s^2 = \sigma^2 \frac{N}{N-1}.
\]

Quindi in questo caso è \(s^2 = 3 \frac{50}{49} = 3.061\) e la
deviazione standard è \(s = \sqrt{3.061} = 1.75\).

\subsubsection{Esercizio 3.38}\label{esercizio-3.38}

\begin{verbatim}
x:  5, 21, 14, 11,  9,  4,  7, 21, 17, 14,  9,  7,  9, 21, 13, 14,  9, 4
y: 53, 65, 48, 66, 46, 56, 53, 57, 49, 66, 54, 56, 53, 52, 49, 56, 59, 56
\end{verbatim}

Quindi

\(\bar x = 11.61, \bar y = 55.22\).

Il prodotto degli scarti \((x_i - \bar x)(y_i - \bar y)\) è

\begin{verbatim}
14.69, 91.80, -17.25, -6.59, 24.08, -5.92, 10.25, 16.69, -33.53, 25.75, 3.19, -3.59, 5.80, -30.25, -8.64, 1.86, -9.86, -5.92
\end{verbatim}

La covarianza è (con denominatore \(N\)) \[
\sum_i [(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)]/18 = 72.55/18 = 4.03.
\]

Varianza di \(X\): Quadrati degli scarti \((x_i-\bar x)^2\):

\begin{verbatim}
43.71, 88.15, 5.71, 0.37, 6.82, 57.93, 21.26, 88.15, 29.04, 5.71, 6.82, 21.26, 6.82, 88.15, 1.93, 5.71, 6.82, 57.93
\end{verbatim}

Quindi \[
\sum_i (x_i - \bar x)^2 = 544.28
\] e la varianza di \(y\) è \(542.28/18 = 30.12\) (sempre con
denominatore \(N\)).

Analogamente si ottiene la \(\sigma^2_Y = 32.73\).

Quindi il coefficiente di correlazione è \[
\rho_{xy} = 4.03/\sqrt{30.12 \times 32.73} = 0.128.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  L'analisi mostra che le due variabili sono quasi incorrelate. Guardate
  lo scatter:
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/unnamed-chunk-2-1}

L'associazione tra la dose del farmaco e la guarigione è debole. Quindi
supponendo che i farmaco sia sempre potenzialmente dannoso si potrebbe
pensare di prescrivere un dosaggio zero!

\subsection{Capitolo 4. Probabilità}\label{capitolo-4.-probabilita}

\subsubsection{Esercizio 4.5}\label{esercizio-4.5}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\tightlist
\item
  L'intersezione \(A \cap B\) è l'evento che ci vogliano 5 giorni.
  L'evento \(\bar A \cap B\) è l'evento che ci vogliano 4,3,2,1 giorni.
\end{enumerate}

Quindi l'unione dei due è l'evento che ci vogliano 1,2,3,4,5 giorni cioè
\textless{} 6 giorni. Questa è la esattamente la definizione dell'evento
\(B\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  \(\bar A \cap B\) è l'evento che ci vogliano 4,3,2,1 giorni. \(A\) è
  l'evento che ci vogliano 5,6,7 giorni. Quindi l'unione dei due è
  l'evento 1,2,3,4,5,6,7 giorni. Questo è l'evento \(A \cup B\). Quindi
  \(A \cup (\bar A \cap B) = A \cup B\). Nota che per la proprietà
  distributiva \[
  A \cup (\bar A \cap B) = (A\cup \bar A) \cap (A \cup B) = S \cap (A \cup B) = A \cup B.
  \] Quindi non c'è bisogno di tutti questi conti.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 4.7}\label{esercizio-4.7}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Lo spazio campionario è il seguente
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
1. M1M2  5. M2M1   9. M3M1  13. T1M1  17. T2M1
2. M1M3  6. M2M3  10. M3M2  14. T1M2  18. T2M2
3. M1T1  7. M2T1  11. M3T1  15. T1M3  19. T2M3
4. M1T2  8. M2T2  12. M3T2  16. T1T2  20. T2T1
\end{verbatim}

Ci sono cioè 20 eventi elementari che abbiamo numerato. Non sono 25
perché non possono capitare T1T1, T2T2, ecc.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Allora
\end{enumerate}

\[
A = \{3,4,7,8,11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\item
\end{enumerate}

\[
B = \{1,2,5,6,9,10,16,20\}
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\item
\end{enumerate}

\[
\bar A = \{1,2,5,6,9,10\}
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  \(A \cap B = \{16,20\}\) è l'evento che si verifica se viene scelta
  almeno una Toyota e le due auto hanno la stessa marca.
\end{enumerate}

Invece \(\bar A \cap B = \{1,2,5,6,9,10\}\). Quindi la loro unione è
\(B\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\tightlist
\item
  Abbiamo che l'unione di \(A\) e \(\bar A \cap B\) è
\end{enumerate}

\[
\{3,4,7,8,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,1,2,5,6,9,10\}
\]

cioè eliminando i doppioni

\[
\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20\}
\]

ossia tutti gli eventi elementari. Questa coincide con \(A \cup B\).

NOIOSISSIMO!

\subsubsection{Esercizio 4.8}\label{esercizio-4.8}

Lo spazio campionario è \texttt{AAAAABBBBBBB}. L'evento che un
sottoinsieme di 2 lettere contenga una A e una B è \(\{A,B\}\). I casi
possibili sono \[
\binom{5}{1}\binom{7}{1} = 35.
\] Cioè posso scegliere la A in 5 modi possibili e per ciascuna posso
scegliere la B in 7 modi possibili. Ricordate l'esercizio in cui
bisognava pescare a caso un comitato di maschi e femmine. Lo spazio
campionario contiene \[ 
\binom{12}{2} = (12)(11)/2 = 66
\] casi possibili. Quindi la probablità è \(35/66 = 0.53\).

Per visualizzare il tutto potete costruire gli eventi elementari con una
tabella:

\begin{verbatim}
  | A  A  A  A  A  B  B  B  B  B  B  B
--+-----------------------------------
A |AA AA AA AA AA AB AB AB AB AB AB AB
A |   AA AA AA AA AB AB AB AB AB AB AB
A |      AA AA AA AB AB AB AB AB AB AB
A |         AA AA AB AB AB AB AB AB AB
A |            AA AB AB AB AB AB AB AB
B |               BB BB BB BB BB BB BB
B |                  BB BB BB BB BB BB
B |                     BB BB BB BB BB
B |                        BB BB BB BB
B |                           BB BB BB
B |                              BB BB
B |                                 BB
\end{verbatim}

Da dove vedete che gli AB sono 35 e tutti i casi possibili sono 66.

\subsubsection{Esercizio 4.9}\label{esercizio-4.9}

È più difficile del precedente, ma si usa la stessa regola. Lo spazio
campionario è \texttt{AAAAAABBBB}.

I casi possibili sono \[
\binom{10}{3} = (10\cdot 9\cdot 8)/(3 \cdot 2) = 120.
\] I casi favorevoli sono (usando la regola di prima) \[
\binom{6}{1} \binom{4}{2} = 6 \cdot  (4 \cdot 3)/2 = 36.
\] Quindi la probabilità è \(36/120 = 0.3\).

\subsubsection{Esercizio 4.10}\label{esercizio-4.10}

Stesso sistema: l'insieme dei casi possibili è \(\binom{16}{4} = 1820\).
Casi favorevoli: \(\binom{10}{2} \binom{6}{2} = 675\). Quindi la
probabilità è \(675/1820 = 0.37\).

\subsubsection{Esercizio 4.11}\label{esercizio-4.11}

Questo è facile: la probabilità è uguale alla frequenza relativa di
norvegesi \(= 20000/120000 = 1/6\).

\subsubsection{Esercizio 4.12}\label{esercizio-4.12}

Si usa regola \(P(A \cap B) = P(A) P(B \mid A)\) dove \(A\) = norvegese
alla prima estrazione e \(B\) = norvegese alla seconda estrazione:

\begin{align*}
P(2 \text{ norvegesi su } 2) &= P(\text{norvegese alla prima }) \cdot P(\text{norvegese alla seconda } \mid \text{norvegese alla prima})\\
&= (20000/180000)(19999/179999)= 0.01234.
\end{align*}

Nota che alla seconda estrazione la popolazione è praticamente uguale.

\subsubsection{Esercizio 4.14}\label{esercizio-4.14}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \(P(A) = P(10\% - 20\% \cup > 20 \%) = 0.33 + 0.21 = 0.54.\)
\item
  \(P(B) = P(< –10\% \cup -10\% - 0\%) = 0.04 + 0.14 = 0.18.\)
\item
  \(\bar A\) è l'evento che il rendimento non sia maggiore del \(10\%\).
\item
  \(P(\bar A￼) = 0.04 + 0.14 + 0.28 = 0.46\)
\item
  L'intersezione tra ``più del 10\%''" e ``rendimento negativo''" è
  l'evento impossibile.
\item
  \(P(A \cap B) = 0\).
\item
  L'unione di \(A\) e \(B\) è l'evento che il rendimento sia meno di
  --10\%, da -10\% a 0\%, da 0\% a 10\%, da 10\% a 20\% e più del 20\%.
\item
  \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0.54 + 0.18 – 0 = 0.72.\)
\item
  \(A\) e \(B\) sono mutuamente esclusivi perché l'intersezione è vuota.
\item
  \(A\) e \(B\) non sono collettivamente esaustivi perché la probabilità
  della loro unione non è 1.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 4.27}\label{esercizio-4.27}

La concorrente ha in mente 3 diversi tipi di confezione E, S, L tutti
ugualmente possibili. Traduzione: \(P(E) = P(S) = P(L) = 1/3\).

Tre strategie di marketing tutte ugualmente possibili. Traduzione:
\(P(I) = P(II) = P(III) = 1/3\).

Si suppone che le scelte sul tipo di confezione e sulle strategie siano
indipendenti.Traduzione: tutte le coppie di eventi
\((E, I) , (E, II), (E, III), (S, I), (S, II), (S, III), (L, I), (L, II), (L, III)\)
sono indipendenti. La domanda riguarda la probabilità \[
P(L \cap I) = ?
\] La risposta si ottiene usando la regola del prodotto con eventi
indipendenti: \(P(L \cap I) = P(L)P(I) = (1/3) (1/3) = 1/9.\)

\subsubsection{Esercizio 4.30}\label{esercizio-4.30}

Quanti sono i modi di permutare i 6 titoli? Sono \(6! = 720\). Ora
supponiamo che i primi tre titoli siano A,B,C. Il numero di 6-uple che
hanno i primi tre titoli uguali ad A,B,C sono formate fissando A,B,C e
permutando i rimanenti 3 titoli. Il numero di queste sono \(3! = 6\).

Quindi la probabilità cercata è \(6/720 = 1/120 = 0.00833.\)

\subsubsection{Esercizio 4.31}\label{esercizio-4.31}

Avete lo stesso problema. Comitato: \texttt{DDDDLL}

In quanto modi possibili posso costruire un sottoinsieme di 3? In
\(\binom{6}{3}\) modi = 20 modi. (Provare per credere).

Quanti sono i sottoinsiemi di 3 membri senza laureati? Sono
\(\binom{4}{3} = 4\).

Quindi la probabilità è \(4/20 = 0.2\).

\subsubsection{Esercizio 4.32}\label{esercizio-4.32}

I possibili sottoinsiemi di 3 partecipanti presi da 5 sono le
combinazioni di 5 oggetti di classe 3: \[
\binom{5}{3} = (5\cdot 4\cdot 3)/(3\cdot 2) = 10
\] Eccole: \[
\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 2, 5\}, \{1, 3, 4\}, \{1, 3, 5\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3,4\}, \{2, 3, 5\}, \{2, 4, 5\}, \{3, 4, 5\}
\] Tuttavia ognuna di queste terne si può permutare in tutti i modi. Per
esempio se il podio è \(\{1,2,3\}\), si possono avere le coppie ordinate
\((1,2,3), (1,3,2) , (2,3,1), (3,2,1)\) etc.

Le permutazioni dei membri della terna sono \(3! = 3\cdot 2 = 6\).
Quindi il numero totale di podi è \(10 \cdot 6 = 60\).

Li elenco qui sotto per chiarezza:

\begin{align*}
&\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 2, 5\}, \{1, 3, 2\}, \{1, 3, 4\}, \{1, 3, 5\}, \\
&\{1, 4, 2\}, \{1, 4, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 2\}, \{1, 5, 3\}, \{1, 5, 4\},\\
&\{2, 1, 3\}, \{2, 1,4\},  \{2, 1, 5\}, \{2, 3, 1\}, \{2, 3, 4\}, \{2, 3, 5\},\\
&\{2, 4, 1\}, \{2, 4, 3\}, \{2, 4, 5\}, \{2, 5, 1\}, \{2, 5, 3\}, \{2, 5, 4\},\\
&\{3, 1, 2\}, \{3, 1, 4\}, \{3, 1, 5\}, \{3, 2, 1\}, \{3, 2, 4\}, \{3, 2, 5\},\\
&\{3, 4, 1\}, \{3, 4, 2\}, \{3, 4, 5\}, \{3, 5, 1\}, \{3, 5, 2\}, \{3, 5, 4\},\\
&\{4, 1, 2\}, \{4, 1, 3\}, \{4, 1, 5\}, \{4, 2, 1\}, \{4, 2,3 \}, \{4, 2, 5\},\\
&\{4, 3, 1\}, \{4, 3, 2\}, \{4, 3, 5\}, \{4, 5, 1\}, \{4, 5, 2\}, \{4, 5, 3\},\\
&\{5, 1, 2\}, \{5, 1, 3\}, \{5, 1, 4\}, \{5, 2, 1\}, \{5, 2, 3\}, \{5, 2, 4\},\\
&\{5, 3, 1\}, \{5, 3, 2\}, \{5, 3, 4\}, \{5, 4, 1\}, \{5, 4, 2\}, \{5, 4, 3\}
\end{align*}

Quindi se si tira a caso la probabilità di pescare quella vincente è
1/60.

\subsubsection{Esercizio 4.36}\label{esercizio-4.36}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \(\binom{5}{2} \binom{6}{4} = 150\).
\item
  Popolazione
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
MMMMM mmmmmm
\end{verbatim}

I casi possibili sono 150. Mettiamo i due fratelli nella
squadra:\texttt{Mm}. Quindi la popolazione diventa

\begin{verbatim}
MMMM mmmmm
\end{verbatim}

e i casi favorevoli sono il numero di modi con cui si può formare il
resto della squadra: \[
\binom{4}{1}\binom{5}{3} = 40.
\] La probabilità = \(40/150 = 0.27\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  La probabilità che nessuno dei fratelli sia scelto si trova notando
  che il numero di casi favorevoli è \[
  \binom{4}{2}\binom{5}{4} = 30.
  \] Quindi è \(30/150 = 1/5 = 0.2\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 4.37}\label{esercizio-4.37}

Ci sono 6 fondi USA e 4 fondi INT.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Per fare un investimento occorre prendere 2 fondi USA e 2 INT. In
  quanti modi? Sono \(AB\) dove
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(A\) = Numero di possibili sottoinsiemi di 2 elementi da 6 =
  \({6 \choose 2} = 15\)
\item
  \(B\) = Numero di possibili sottoinsiemi di 2 elementi da 4 =
  \({4 \choose 2} = 6\)
\end{itemize}

Quindi \(AB = 15 \times 6 = 90.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Traduzione: definiamo gli eventi \(C\) = Nessun fondo USA dei 2 scelti
  va male.\\
  Allora siccome c'è 1 fondo USA che va male e 5 che vanno bene\\
  \[
  P( C) = \frac{{5 \choose 2}}{15} = 10/15.
  \] Sia poi \(D\) = Nessun fondo INT dei 2 scelti va male. Siccome c'è
  1 fondo INT che va male e 3 che vanno bene: \[
  P(D) = \frac{{3 \choose 2}}{6} = 3/6.
  \]
\end{enumerate}

Sia \(E\) = Nessun fondo USA dei 2 scelti e nessun fondo INT dei 2
scelti indipendentemente va male = \(C \cap D\).

Siccome sono indipendenti \[
P(E) = (10/15)(3/6) = 1/3.
\]

Quindi ora si consideri che l'evento di cui si chiede la probabilità
cioè \(F\) = almeno uno dei fondi scelti vada male = complementare di
\(E\) avremo \[
P(F) = 1 - P(E) = 1 - 1/3 = 2/3.
\]

\subsubsection{Esercizio 4.38}\label{esercizio-4.38}

\(A=\) preoccupato per il lavoro; \(B=\) preoccupato per i voti.
\(P(A) = 0.3\), \(P(B) = 0.25.\) Inoltre \(P(A \cap B) = 0.2.\)

La probabilità chiesta è \[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.25 - 0.2=0.35.
\]

\subsubsection{Esercizio 4.42}\label{esercizio-4.42}

Si deve calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno degli
inconvenienti A, B, C. Questo vuol dire \(P(A \cup B \cup B)\). Sappiamo
che A e B sono indipendenti e quindi \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\) e anche
che A e C sono indipendenti. Perciò \(P(A \cap C) = P(A)P[C] \). Inoltre
B e C si escludono a vicenda e quindi \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Il disegno seguente dovrebbe essere utile.

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/unnamed-chunk-3-1}

￼ La probabilità cercata perciò è \[
\begin{aligned}
P(A \cup B \cup C) &= P(B) + P[C] + P(A) - P(A\cap B) - P(A\cap C) \\
                   &= 0.02 + 0.01 + 0.04 - 0.02 \times 0.01 - 0.02 \times 0.04 = 0.069.
\end{aligned}
\] Guardate il disegno! Quando sommo \(P(A)\) conto due volte le
probabilità delle intersezioni. Per questo occorre sottrarle.

ESERCIZIO DIFFICILE.

\subsubsection{Esercizio 4.50}\label{esercizio-4.50}

Sia \(A\) l'evento che il problema capita il lunedì. Sia \(B\) l'evento
che il problema succeda durante l'ultima ora. Quindi \(P(A) = 0.3\) e
\(P(B) = 0.2\). Inoltre siccome il 4\% dei problemi avviene di lunedì e
all'ultima ora vuol dire che \(P(A \cap B ) = 0.04\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  Chiede la probabilità che sapendo che un problema si verifica di
  lunedì questo NON si verifichi alla fine del turno, cioè \[
  P(\bar B |A) = \frac{P(\bar B \cap A)}{P(A)}
  \] Il numeratore è la probabilità della differenza tra gli eventi
  \(A\) e \(B\). Questa si trova (fare un disegno) con \[
  P(\bar B \cap A) = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.04 = 0.26.
  \] Quindi \(P(\bar B | A) = 0.26/0.3 = 0.867.\)
\item
  \(A\) e \(B\) sono indipendenti se e solo se
  \(P(A \cap B) = P(A) P(B)\) e questo è chiaramente falso.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 4.52}\label{esercizio-4.52}

A = Chi risponde alla telefonata diventa un nuovo cliente B = Il
rispondente si era avvalso l'anno prima dei servizi della concorrenza

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(P(A) = 0.15\)
\item
  \(P(B|A) = 0.8\)
\item
  \(P(B) = 0.6\)
\end{itemize}

\(P(A | B) =\) ?

Per la formula di Bayes \[
P(A|B) = P(B|A) P(A)/P(B) = 0.8 \cdot 0.15 /0.6 = 0.2
\]

\subsubsection{Esercizio 4.74}\label{esercizio-4.74}

Definite l'evento \(G = \) gli utili crescono.

Inoltre consiederate i tre eventi \(H, L\) e \(S\) definiti come segue.

\(H = \) i tassi del prossimo anno superano quelli correnti di più
dell'1\%

\(L =\) i tassi del prossimo anno sono inferiori a quelli correnti di
più dell'1\%

\(S = \) i tassi del prossimo anno si scostano da quelli correnti di
meno dell'1\%.

Per costruzione \(H, L, S\) sono una partizione dello spazio campionario
(sono eventi necessari e incompatibili).

Allora si sa che \(P(G | H) = 0.1\), \(P(G | L) = 0.8\) e
\(P(G | S) = 0.5\). Inoltre si sa anche che

\[
P(H) = 0.25 , \quad P( L) = 0.15, \quad P(S) = 0.6.
\] Notate che la somma fa 1.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Si chiede
\end{enumerate}

\[
P(G \cap H) = P(G|H) P(H) = (0.1)(0.25) = 0.025
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Si chiede
\end{enumerate}

\[
P(G) = P(G|H) P(H) + P(G|L) P(L) + P(G|S)P(S)
\] Questa è la formula delle probabilità totali. Si ottiene \[
P(G) = 0.025 + (0.8) (0.15) + (0.5)(0.6) = 0.445
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Chiede
\end{enumerate}

\[
P(L |G) = P(G|L) P(L) /P(G) =  (0.8) (0.15) / 0.445 = 0.2697.
\] Questa è la formula di Bayes.

\subsubsection{Esercizio 4.76}\label{esercizio-4.76}

L'esercizio è formulato in modo un po' confuso. Se si legge attentamente
alla fine si capisce che:

\begin{itemize}
\item
  L'esperimento consiste nell'estrazione casuale di uno studente
  universitario.
\item
  Lo studente può essere bravo (B) , medio (M), scarso (S).
\end{itemize}

Siccome lo studente è bravo se si colloca tra il 25\% dei migliori P(B)
= 0.25 Siccome lo studente è scarso se si colloca tra il 25\% dei
peggiori P(S) = 0.25 Evidentemente P(M) = 0.5.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Lo studente può essere stato ottimo (O) alle superiori.
\end{itemize}

Siccome lo studente è ottimo se si collocava tra il 10\% dei migliori
P(O) = 0.1.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Ci viene detto che
\end{itemize}

P(O \textbar{} B) = 0.7 P(O \textbar{} M) = 0.5 P(O \textbar{} S) = 0.2

Quindi possiamo impostare la tabella seguente

\begin{verbatim}
        O    non O  Tot
                           
B     0.7     0.3     1 
M     0.5     0.5     1
S     0.2     0.8     1
                            
Tot   0.1     0.9     1
\end{verbatim}

A questo punto vengono le domande.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Chiede P(O). Usando la formula delle probabilità totali si ha
\end{enumerate}

\[
P(O) = P(O | B) P(B) + P(O | C) P(C) + P(O | S) P(S) = (0.7)(0.25) + (0.5)(0.5) + (0.2)(0.25) = 0.475.
\]

\subsubsection{Esercizio 4.78}\label{esercizio-4.78}

(Sono esercizi normali che potete trovare nel compito). \[
P(M_1) = 0.4, \quad  P(M_2) = 0.6
\] Sono le probabilità che le caramelle siano prodotte dalla macchina 1
e 2.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(P(D \mid M_1) = 0.1\)
\item
  \(P(D \mid M_2) = 0.\)
\end{itemize}

È la probabilità di produrre scatole difettose (sapore alterato) sapendo
che il pezzo proviene dalla macchina 1 o 2.

La macchina 2 non produce pezzi difettosi e quindi la probabilità è 0.
\[
P(M_1 \mid  non D) = ?
\]

è la probabilità che la scatola provenga dalla macchina 1 sapendo che il
sapore non è alterato.

È una applicazione della regola di Bayes. \[
P(M_1 \mid  non D) = \frac{P(non D \mid  M_1) P(M_1)}{P(non D)}
\] \[
\begin{aligned}
P(non D \mid  M_1) P(M_1) &= 0.36 \\
P(non D) &= P(non D \mid  M_1) P(M_1) + P(non D \mid M_2) P(M_2) = 0.9 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.6 = 0.96
\end{aligned}
\]

Quindi la soluzione è \(0.36/0.96 = 0.375\).

\subsubsection{Esercizio 4.82}\label{esercizio-4.82}

Notare che \(A_1\) e \(A_2\) sono complementari cioè
\(P(A_2) = 1 - P(A_1)\).

Stessa cosa per \(B_1\) e \(B_2\). Quindi per la formula di Bayes:

\[
P[A_1 \mid  B_2 ] = P[B_2| A_1] P[A_1] / P[B_2] = (1 - P[B_1 | A_1] ) P[A_1] / P[B_2]
\]

Perché \(B_1\) è complementare di \(B_2\) !

Ora \(P[B_1] = P[B_1| A_1] P[A_1] + P[B_1 | A_2] P[A_2]\) per il teorema
della probabilità totale.

Quindi \[
P[B_1] = 0.4 \cdot 0.5 + 0.7 \cdot 0.5 = 0.55
\] e quindi \(P[B_2] = 0.45\).

Allora \(P[A_1 | B_2] = ( 1 - 0.4) \cdot 0.5 / 0.45 = 0.66667.\)

Esercizio DIFFICILE.

\subsubsection{Esercizio 4.85}\label{esercizio-4.85}

\(A = \) Il prof. riceve il materiale \(B = \) il prof. adotta il libro

Sappiamo che \[
P(A) = 0.8, \quad P(B|A) = 0.3 \quad P(B  | \bar A) = 0.1
\] Perciò si chiede \(P(A|B\) che si trova con la formula di Bayes

\begin{align*}
P(A\mid B) &= \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \bar A) P(\bar A)}\\
&= \frac{(0.3)(0.8)}{(0.3)(0.8) + (0.1)(1-0.8)} =  0.923\\
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 4.86}\label{esercizio-4.86}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(A_1\) = molto meglio; \(A_2\) = molto peggio; \(A_3\) = nella media.
\item
  \(B\) = ottimo acquisto \[
  \begin{aligned}
  P[A_1] &= 0.25 ;P[A_2] = 0.25;  P[A_3] = 0.5 \\
  P[B | A_1] &= 0.4;   P[B| A_2] = 0.1;  P[B | A_3] = 0.2 \\
  P[A_1 | B] &= (.25 \cdot 0.4)/ (.25 \cdot 0.4 + .25 \cdot .1 + .5 \cdot.2) = 0.444444.
  \end{aligned}
  \]
\end{itemize}

\subsubsection{Esercizio 4.95}\label{esercizio-4.95}

\(W =\) incidente causato da condizioni atmosferiche. \(BI=\)
l'incidente ha provocato feriti. Abbiamo che \[ 
P(W) = 0.3\quad  P(BI) = 0.2\quad    P(W|BI) = 0.4
\] a. \(P(W \cap BI) = P(W|BI)P(BI) = (0.4)(0.2) = 0.08.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  No, infatti \(P(W \cap BI) = 0.08 \ne 0.06 = P(W)P(B).\)
\item
  \(P(BI\mid W) = P(W \cap BI)/P(W) = 0.08 / 0.3 = 0.267.\)
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\begin{align*}
P(￼\bar W \cap \overline{BI}￼) &= P(￼\overline{W \cup BI}) = 1-P(W \cup BI) \\
  &=1 – P(W) – P(BI) + P(W \cap BI) = 1 - 0.3 - 0.2 + 0.08 =0.58
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 4.96}\label{esercizio-4.96}

Sia \(G=\) arrivo cavi grossi e \(F=\) arrivo cavi fini.

Si sa che \(P(G \cup F) = 0.8\) e inoltre \(P(G \mid F) = 0.4\) mentre
\(P(F \mid G) = 0.6\).

Perciò se si pone \[
P(G) = x; P(F) = y; P(G \cap F) = z
\] risulta

\begin{align*}
0.8 &= P(G \cap F) = x + y - z \\
0.4 &= P(G | F) = z/y \\
0.6 &= P(F|G) = z/x 
\end{align*}

È un sistema di tre equazioni in 3 incognite che va risolto e quindi si
ottiene \[
x = 0.4211, \quad y = 0.6316,  \quad  z = 0.2526.
\] Queste sono le soluzioni dei quesiti a. b. c.

E' TROPPO DIFFICILE PER VOI!

\subsubsection{Esercizio 4.101}\label{esercizio-4.101}

Definiamo \(N =\) turno di notte, \(F = femmina\), \(M = maschio\),
\(FP =\) favorevole al piano.\\
Sappiamo che

\begin{align*}
P(N) &= 0.5, \quad P(F) = 0.3, \quad  P(M) = 0.7,\quad  P(F|N) = 0.2, \\
P(M|N) &= 0.8, \quad P(FP|N) = 0.65, P(FP|F) = 0.4.  
\end{align*}

Perciò

\begin{align*}
P(N \cap F) &= (0.5)(0.2) = 0.1, \\
P(FP) &= P(FP|M)P(M) + P(FP|F)P(F) = (0.5)(0.7) + (0.4)(0.3) = 0.47\\
P(N \cap FP) &=     P(FP|N)P(N) = (0.65)(0.5) = 0.325\\
\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \[ P(FP\cap F) = P(FP|F)P(F) = (0.4)(0.3) = 0.12\]
\item
  \[P(N\cup F) = P(N) + P(F) – P(N \cap F) = 0.5 + 0.3 - 0.1 = 0.7\]
\item
  No, verifica che \[ P(N\cap F) = 0.1 \ne   0.15 = P(N)P(F).\]
\item
  \[ P(N|F) = P(N \cap F)/P(F) = 0.1/0.3 = 0.3333.\]
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\begin{align*}
P(\bar N \cap \overline{FP}￼) &=  1 - P(N \cup FP) = 1 - [P(N) + P(FP) - P(N \cap FP)]\\
 &= 1- 0.5 - 0.47 + 0.325 = 0.355.
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 4.102}\label{esercizio-4.102}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  C'è un gruppo di 16 persone. Devo fare una giuria di 12. Quante scelte
  posso fare? È il numero di sottoinsiemi di 12 elementi da un insieme
  di 16. Quindi calcolo le combinazioni di 16 elementi di classe 12 =
  \(\binom{16}{12}\). Quindi calcolo \[
  \binom{16}{12} = (16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5)     /(12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1) 
  \]
\end{enumerate}

Nota che sono entrambi prodotti di 12 numeri: semplifico \[
(16\cdot 15\cdot 14\cdot 13)/(4 \cdot 3 \cdot  2 \cdot 1) = 1820
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Se pesco a caso 12 persone qual è la probabilità che ci siano più
  uomini che donne? Facciamo un esempio più semplice: qual è la
  probabilità che ci siano 7 uomini? La chiamo \(P(7)\).
\end{enumerate}

Il numero di casi possibili è 1820. Il numero di casi favorevoli è il
numero di sottoinsiemi di 12 elementi con 7 uomini e 5 donne presi da un
insieme di 16. In quanti modi posso prendere 7 uomini da un gruppo di 8?

È \[
\dbinom{8}{7}   = (8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2)/(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1) = 8.
\] In quanti modi posso prendere 5 donne da un gruppo di 8? È \[
\dbinom{8}{5} = (8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4) /(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1) = 56.
\] Quindi per ognuno degli 8 modi di prendere 7 maschi ci sono 56 modi
di accostargli 5 femmine. Quindi il numero di casi favorevoli è
\(8\cdot 56 = 448\).

La probabilità cercata è\\
\[
P(7) = \dbinom{8}{7}\dbinom{8}{5}/1820 = 448 /1820 = 0.246.
\] Ora la probabilità che ci siano più uomini che donne include anche la
probabilità che la giuria si composta da 8 uomini: \(P(8)\). Usando lo
stesso ragionamento calcolo \[
P(8) = \dbinom{8}{8}\dbinom{8}{4} /1820  = 1 \cdot  70/1820 =  0.0385.
\] Quindi la risposta è \(P(7) + P(8) = 0.246 + 0.0385 = 0.284\).

\subsubsection{Esercizio 4.104}\label{esercizio-4.104}

Sappiamo che se \(A\) = essere selezionato (e sottoposto alla cura),
\(B\) = guarigione

\begin{align*}
P(A) &= 10/100 = 0.10 \\
P(B| A) &= 0.75 \\
P(B| non A) &= 0.50
\end{align*}

Quindi

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\item
  \(P(B \cap A) = P(A) P(B|A) = 0.10 \cdot 0.75 = 0.075.\)
\item
  \(P(A | B) = P(A \cap B) /P(B) = P(B \cap A) / P(B) = 0.075/ P(B).\)
  Ma \[
  P(B) = P(B|A) P(A) + P(B| non A) P(non A) = 0.075 + 0.50 \cdot (1 - P(A)) = 0.075 + 0.5 
  \cdot 0.9 = 0.525.
  \]
\end{enumerate}

Quindi \(P(A|B) = 0.075/ P(B) = 0.075/0.525 =0.1429.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Diciamo che chiamiamo 10 pazienti specifici in un certo modo: Tizio,
  Caio, Sempronio \(\dots\) Giulia.
\end{enumerate}

Qual è la probabilità di pescare dai 100 pazienti proprio i precedenti
10?

Il numero di casi possibili è \(\dbinom{100}{10}.\) Il numero di casi
favorevoli sono \(1!\)

Quindi abbiamo che la probabilità è \[
1/\dbinom{100}{10} = 10! 90! / 100! = 1 /17310309456440.
\]

\subsection{Capitolo 5. Variabili casuali
discrete}\label{capitolo-5.-variabili-casuali-discrete}

\subsubsection{Esercizio 5.20}\label{esercizio-5.20}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\item
  Quando dice ``si scelgono a caso 2 scatole'' vuol dire che il numero
  di graffette \(X_1\) della prima scatola e \(X_2\) della seconda hanno
  la distribuzione di probabilità uguale a quella data e che sono
  indipendenti fra loro. La probabilità la prima scatola contenga come
  minimo 50 graffette è \[
  P(X_1 \ge 50) = 0.29 + 0.2 + 0.1 + 0.03 =  0.62.
  \] Chiamo questo evento \(A_1 = X_1 \ge 50\). Ovviamente anche per la
  seconda scatola \(P(X_2 \ge 50) = 0.62\). Chiamo questo secondo evento
  \(A_2 = X_2 \ge 50\). Ora chiede infine la probabilità che almeno una
  delle scatole contenga 50 o più graffette cioè \[
  P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1\cap A_2)
  \] Ora siccome le estrazioni delle due scatole sono indipendenti
  \(A_1\) e \(A_2\) sono due eventi indipendenti. Perciò abbiamo \[
  P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)
  \]\\
  e dunque \[
  P(A_1 \cup A_2) = 0.62 + 0.62 - 0.62\times 0.62 = 0.8556.
  \]
\item
  Diciamo che \(Y = 16+2X\) centesimi sia il costo di produzione e
  perciò l'utile è \(U =150 - Y = 150 - 16 - 2X = 134 - 2X\) centesimi.
  Il valor medio e la deviazione standard dell'utile sono perciò
\end{enumerate}

\begin{align*}
E(U) &= 134 - 2 E(X) \\
\mathrm{var}(U) &= 4 \mathrm{var}(X)
\end{align*}

Ora non resta che calcolare la media e la varianza di \(X\). Un pò di
conti permettono di trovare \[
E(X) = 49.9 \qquad  \mathrm{var}(X) = 1.3964^2
\] Quindi \[
E(X) = 134 - 2\times 49.9 = 34.2 \text{ centesimi }(\$0.34). 
\] e \[
\sigma(U) = 2 \times 1.3964 = 2.7928 \text{ centesimi } (\$0.0279).
\]

\subsubsection{Esercizio 5.22}\label{esercizio-5.22}

Un lotto contiene il \(10\%\) di pezzi difettosi. Si scelgono a caso due
pezzi e si controllano. \(X = \) numero di pezzi difettosi su due a.
Calcolare la distribuzione di probabilità. \[
\begin{array}{cc}
x & P(x) \\
0 & 0.81\\
1 & 0.18\\
2 & 0.01\\
\end{array}
\] Infatti \(X \sim Bin(n = 2, p = 0.1)\)

\begin{align*}
P(X = 0) &= 0.9 \cdot 0.9 = 0.81\\
P(X = 1) &= 2\cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.18\\
P(X = 2) &= 0.1 \cdot 0.1 = 0.01  
\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Confezione di 20 pezzi con due pezzi difettosi. Si scelgono a caso due
  pezzi e si controllano.
\end{enumerate}

\(Y =\) numero di pezzi difettosi su due \[
\begin{array}{cc}
y & P(y)\\ \hline
0 & 0.8053\\
1 & 0.1895\\
2 & 0.0053\\ \hline
\end{array}
\] Infatti

\begin{align*}
P(Y = 0) &= \frac{18}{20} \frac{17}{19} = 0.8053\\
P(Y = 1) &= \frac{2}{20}\frac{18}{20} + \frac{18}{20}\frac{2}{19} = 0.1895\\
P(Y = 2) &= \frac{2}{20} \frac{1}{19} = 0.0053 
\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\begin{align*}
E ( X ) &= 0 \cdot 0.81 + 1 \cdot 0.18 + 2 \cdot 0.01 = 0.2 \\
\mathrm{var}(X) &= 0^2 \cdot 0.81+1^2 \cdot 0.18+2^2 \cdot0.01-0.2^2 =0.18
￼￼\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\begin{align*}
E(Y) &= \sum y p(y) = 0 \cdot 0.8053 + 1 \cdot 0.1895 +  2 \cdot 0.0053 = 0.2001\\
\mathrm{var}(Y) &= \sum y^2p(y) - \mu_y^2 = 0^2 \cdot 0.8053+ 1^2\cdot 0.1895+ 2^2 \cdot 0.0053- 0.2001^2 = 0.1707
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 5.27}\label{esercizio-5.27}

È LUNGO e DIFFICILE!!

\(P = \) profitto \(X = \) numero di richieste \(S = \) numero di
giornali in magazzino \[ 
P = 
\begin{cases}
0.2S - 0.05(X – S) & \text{ se } X > S \\
0.2X& \text{ se  } X = S \\
0.2X - 0.7(S – X)& \text{ se } X < S \\
\end{cases}
\] Profitto per ogni combinazione di \(S\) e \(X\).

\[
\begin{array}{rrrrrrr} 
S, X &   0  &    1   &      2 &      3   &     4   &      5        \\
0  &  0.00& -0.05& -0.10& -0.15& -0.20& -0.25   \\
1  & -0.70 & 0.20&  0.15&  0.10&  0.05&  0.00   \\
2 &  -1.40& -0.50&  0.40&  0.35&  0.30&  0.25   \\
3  & -2.10& -1.20& -0.30&  0.60&  0.55&  0.50  \\ 
4  & -2.80& -1.90& -1.00& -0.10&  0.80&  0.75  \\
5  & -3.50& -2.60& -1.70& -0.80&  0.10 & 1.00  \\
\end{array}
\]

Quindi calcolano i valori medi per ogni distribuzione condizionata.

\begin{align*}
E[P|S=0] &= 0 +(-.05)(.16) + (-.1)(.18) + (-.15)(.32)+ \\
&+ (-.2)(.14) + (-.25)(.08) = -.122\\
E[P|S=1] &= (-.7)(.12) + (.2)(.16) + (.15)(.18) +\\
&+ (.1)(.32) + (.05)(.14) = .014\\
E[P|S=2] &= (-1.4)(.12) + (-.5)(.16) + (.4)(.18) + \\
&+(.35)(.32) + (.3)(.14) + (.25)(.08) = -.002\\
E[P|S=]3 &= (-2.1)(.12) + (-1.2)(.16) + (-.3)(.18) + \\
&+(.6)(.32) + (.55)(.14) + (.5)(.08) = -.189\\
E[P|S=4] &= (-2.8)(.12) + (-1.9)(.16) + (-1)(.18) +\\
&+ (-.1)(.32) + (.8)(.14) + (.75)(.08) = -.68\\
E[P|S=5] &= (-3.5)(.12) + (-2.6)(.16) + (-1.7)(.18) + \\
&+ (-.8)(.32) + (.1)(.14) + (1)(.08) = -1.304\\
\end{align*}

Conclusione: il proprietario massimizza il profitto atteso ordinando 1
giornale.

\subsubsection{Esercizio 5.40}\label{esercizio-5.40}

La distribuzione del numero di partite vinte è binomiale con \(n = 5\) e
\(p = 0.4\) Munendosi di pazienza oppure di una buona calcolatrice si
ottiene la funzione di massa di probabilità e la funzione di
ripartizione.

\begin{verbatim}
x    p(x)
0    0.07776 
1    0.25920 
2    0.34560 
3    0.23040 
4    0.07680 
5    0.01024
Tot  1.00000
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
x   F(x)
0   0.07776 
1   0.33696 
2   0.68256 
3   0.91296 
4   0.98976 
5   1.00000
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(P(X = 5) = 0.01024\)
\item
  \(P(X \ge 3) = 0.23040 + 0.07680 + 0.01024 = 0.31744.\)
\item
  Se vincono la prima partita restano 4 partite per cui il numero di
  partite vinte \(Y\) è Binomiale con \(n = 4\) e \(p = 0.4\).
\end{enumerate}

La distribuzione è

\begin{verbatim}
y    p(y)
0    0.1296
1    0.3456
2    0.3456
3    0.1536
4    0.0256
\end{verbatim}

Ora la probabilità di vincere la maggioranza delle 5 partite è la
probabilità di vincerne almeno 2 delle 4 restanti cioè

\[
1 - P(Y = 0) - P(Y = 1) = 0.5248
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  E' la media delle partite vinte cioè
\end{enumerate}

\[
E(X) = np = 5 \times 0.4 = 2. 
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Dato che i Clubs hanno vinto la prima il numero medio di partite vinte
  è \(1 + E(Y) = 1 + 4 \times 0.4 = 2.6.\)
\end{enumerate}

E' un esercizio difficilino.

\subsubsection{Esercizio 5.50}\label{esercizio-5.50}

La regola è basata sulla formula

\[
\frac{{S \choose x}{N-S \choose n-x}}{{N \choose n}} 
\]

dove \(N = \) numero di elementi della popolazione finita, \(S = \)
numero di successi nella popolazione, \(n = \) dimensione del campione,
\(x = \) numero di successi nel campione. Quindi

\[
\frac{{25 \choose 5}{25 \choose 7}}{{50 \choose 12}} = 0.2104
\]

\subsubsection{Esercizio 5.54}\label{esercizio-5.54}

Nella popolazione ci sono \(N = 400\) unità di cui \(S = 200\) successi.
Estraggo un campione casuale senza ripetizione di dimensione \(n = 15\).
Il numero di possibili campioni è

\[
\dbinom{400}{15} = \frac{400\cdot  399 \cdot 398 \cdot \cdots \cdot 386 }{15!} = 629498843449501998439382160
\]

Evidentemente non potete calcolarlo a mano!

Il numero di possibili campioni con \(8\) successi e \(6\) insuccessi
sono \[
\dbinom{200}{8} {200 \choose 7} = 125840388797424048232485000
\]

Quindi la probabilità chiesta è il rapporto di questi due valori che
risulta

\[
\frac{125840388797424048232485000}{629498843449501998439382160} =   
0.1999.
\]

ESERCIZIO IMPOSSIBILE DA FARE A MANO!

\subsubsection{Esercizio 5.58}\label{esercizio-5.58}

Se \(X\) è il numero di richieste inoltrate da immigrati, \(X\) è una
variabile ipergeometrica con \(N = 10\), numero di successi (il numero
di immigrati nella popolazione) \(S = 5\) e numerosità del campione
\(n = 6\).

Qui le richieste approvate (per assurdo) sono state estratte a caso. Con
molta pazienza e una calcolatrice si ottiene la funzione di massa di
probabilità e la funzione di ripartizione.

\begin{verbatim}
x    p(x)       F(x)
0 0.00000000 0.00000000
1 0.02380952 0.02380952
2 0.23809524 0.26190476
3 0.47619048 0.73809524
4 0.23809524 0.97619048
5 0.02380952 1.00000000
\end{verbatim}

La probabilità che meno della metà delle richieste APPROVATE sia stata
inoltrata da immigrati è la probabilità che su 6 richieste approvate al
massimo 2 siano state inoltrate da immigrati cioè \[
P(X \le 2) = 0.2619.
\] ESERCIZIO DIFFICILE!

\subsubsection{Esercizio 5.74}\label{esercizio-5.74}

Le medie sono \(\mu_X =1.5\) e \(\mu_Y = 0.55\). La covarianza è

\begin{align*}
\sigma_{XY} &= \sum_x \sum_y x y P(x,y) - \mu_x \mu_y  \\
&= 0.3 \times 1 + 0.25 \times 2 - 1.5 \times 0.55 = -0.025.
\end{align*}

La varianza di \(X\) è \[
\sigma_X^2 = \sum x^2 P(x) - \mu_x^2 = 1 \times 0.5 + 4 \times 0.5 - 1.5^2 =  0.25
\] Analogamente la varianza di \(Y\) è \(\sigma^2 = 0.2475\). Perciò il
coefficiente di correlazione è \[
\rho_{XY} = \frac{-0.025}{\sqrt{0.25 \times 0.2475}} = -0.1005.
\]

\subsubsection{Esercizio 5.80}\label{esercizio-5.80}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  Distribuzione marginale di \(X\): \(P(X = 1) = 0.4, P(X = 2) = 0.6\).
  Distribuzione marginale di \(Y\):\(P(Y = 0) = 0.6\), \(PY=1) = 0.4\).
\item
  Media e Deviazione standard di \(X\):
\end{enumerate}

\begin{align*}
E(X) &= 1(0.4) + 2(0.6) = 0.4 + 1.2 = 1.6\\
\mathrm{var}(X) &= 1^2(0.4) + 2^2(0.6) - 1.6^2 = 0.24\\
E(Y) &= 0(0.6) + 1(0.4) = 0.4 \\
\mathrm{var}(X) &= 0^2(0.6) + 1^2(0.4) - 0.4^2 = 0.24
\end{align*}

Covarianza tra \(X\) e \(Y\)

\[
\sigma_{XY} = 0(1)(0) + 0(2)(0.6) + 1(1)(0.4) + 1(2)(0)  - 1.6(0.4) = -0.24
\]

Coefficiente di correlazione

\[
\rho_{XY} = \frac{(-0.24)}{\sqrt{0.24(0.24)}} = -1.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Media di \(W\)
\end{enumerate}

\[
E(W) = 2\mu_X - 4\mu_Y = 2(1.6) - 4(0.4) = 1.6
\]

Varianza di \(W\)

\begin{align*}
\sigma^2_W &= 4 \sigma^2_X + 16 \sigma^2_Y - 2(2)(4) \sigma^2_{XY}\\
&=  4(0.24) + 16(0.24) - 2(2)(4)(-0.24) = 8.64.
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 5.99}\label{esercizio-5.99}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  La probabilità di vincere almeno 4 partite su 7 è (supponendo
  l'indipendenza delle partite e la probabilità di vittoria costante)
  Binomiale \[
  P(X \ge 4) = P(X = 4 \text{ o } 5\text{ o }6 \text{ o } 7) 
  \] quindi è (forza con la calcolatrice!)
\end{enumerate}

\[
\dbinom{7}{4}\; 0.6^4 0.4^3 + \dbinom{7}{5}\; 0.6^5 0.4^2  + \dbinom{7}{6}\; 0.6^6 0.4^1 + 0.6^7 =  0.71021
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  La probabilità che la settima gara sia decisiva è la probabilità che
  si siano vinte esattamente 3 partite sulle prime 6 e cioè \[
  P(3 \text{ successi  su } 6 \text{ partite}) = \dbinom{6}{3}\; 0.6^3 0.4^3 = 0.27648 
  \]
\end{enumerate}

c.i. Una volta che le prime 4 partite sono finite in parità la
probabilità che A vinca è che vinca almeno 2 partite sulle restanti 3:
\[
\dbinom{3}{2}\; 0.6^2 0.4^1 + \dbinom{3}{3}\; 0.6^3 0.4^0 = 0.648. 
\]

c.ii La probabilità che sia necessaria una 7ma partita per determinare
il vincitore è la probabilità che sulle prossime 2 partite A ne vinca 1:
\[
\dbinom{2}{1}\; 0.6^1 0.4^1 = 0.48. 
\] DIFFICILE.

\subsection{Capitolo 6. Variabili casuali continue (la
normale)}\label{capitolo-6.-variabili-casuali-continue-la-normale}

\subsubsection{Esercizio 6.17}\label{esercizio-6.17}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  È un esercizio UTILE e FONDAMENTALE!! DISEGNATE LE FIGURE!
\item
  Si usano le tavole della normale standard e si sfrutta la simmetria.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(P(Z < 1.20) = F (1.20) = 0.8849\)
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n1-1} ￼

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  \(P(Z >1.33)=1-P(Z \le 1.33)= 1-F(1.33)=1-0.9082=0.0918\)
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n2-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  \(P(Z <-1.70)= P(Z \ge 1.70)= 1-P(Z <1.70)=1-F(1.70)=1-0.9554=0.0446\)
  ￼
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n3-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  \(P(Z > -1) = P(Z < 1) = F(1) = 0.8413\) ￼
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n4-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  \(P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)\)
\end{enumerate}

\begin{align*}
 P(1.20< Z < 1.33) &=P(Z<1.33)-P(Z<1.20)\\
&=F(1.33)-F(1.20)\\
&=0.9082-0.8849=0.0233 
\end{align*}

￼

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n5-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\tightlist
\item
  \(P( -1.70 < Z <1.20) = F(1.20)-[1-F(1.70)] = 0.8849-(1-0.9554)=0.8403\)
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n6-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  \(P(-1.70 < Z < -1)=P(1 < Z < 1.70)=F(1.70)-F(1)=0.9554-0.8413=0.1141\).
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/n7-1}

￼ \textbf{NOTA BENE}: in questi calcoli non importa se viene usato \(<\)
o \(\le\)! Infatti per esempio \[
P(Z \le 1)  = P(Z <1) + P(Z = 1) = P(Z<1) + 0
\] perché la normale è una variabile continua.

\subsubsection{Esercizio 6.18}\label{esercizio-6.18}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Vai sulle tavole e guardi il valore più vicino a \(0.70\). Trovi
\end{enumerate}

\begin{align*}
F(z) &= 0.6985, \quad  z=0.52\\
F(z) &= 0.7019, \quad z = 0.53 
\end{align*}

Puoi fare in due modi: 1) Fai la semisomma \((0.52 + 0.53)/2 = 0.525\)
oppure 2) guardi quale tra i due valori di probabilità è più vicino a
\(0.70\).

In questo caso è \(z = 0.52\). Infatti \(0.6985\) è più vicino a
\(0.70\) di \(0.7019\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Per trovare \(z\) tale che \(P(Z < z) = 0.25\) non si può guardare
  sulla Tavola 1 perché questa per economia di spazio fornisce solo
  probabilità tra 0.5 e 0.999.
\end{enumerate}

Quindi si ragiona in questo modo. Si risolve il problema simmetrico

\[
P(Z < z) = 0.75
\]

dove \(0.75 = 1 - 0.25\). Si trova col metodo del punto precedente che
\(z = 0.67\). Come si vede \(0.67\) è il terzo quartile della normale
standard.

Il valore cercato che lascia a sinistra un''area 0.25 deve invece essere
\(z = -0.67\) perché è simmetrico rispetto alla media 0. Infatti\\
\[
P(Z < - 0.67) = 1 - P(Z < 0.67) = 1 - 0.75 = 0.25.
\]

Si nota anche che \(z = -0.67\) è il primo quartile della normale
standard.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Per trovare \(P(Z > z) = 0.20\) si fa così: si osserva che se \(z\)
  soddisfa la relazione precedente allora
\end{enumerate}

\[
P(Z < z) = 0.80
\]

Quindi si procede come per il caso a. e si trova \(z=0.84\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Infine se dobbiamo trovare \(P(Z > z) = 0.60\) allora sarà \[
  P(Z < z) = 0.4
  \] Siccome la probabilità è più piccola di \(0.5\) si procede come nel
  caso b. Cioè prima si calcola \[
  P(Z < z) = 0.6
  \]\\
  e si trova \(z = 0.25\). Poi si trova il valore di \(z\) giusto
  cambiando di segno. Cioè \[
  P(Z < -0.25) = 0.4
  \] e anche \[
  P(Z > -0.25) = 0.6
  \] Ognuna di queste soluzioni si può verificare alla fine. Per esempio
  nel caso d. si verifica che \[
  P( Z < -0.25) = 1 - P(Z <0.25) = 1 - 0.5987 \approx  0.4.
  \] Naturalmente le soluzioni trovate sono sempre approssimate perché
  usiamo la Tavola 1 in modo inverso.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 6.20}\label{esercizio-6.20}

\(X \sim N(80, \sigma = 10)\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Abbiamo \[
  P(X > 60) = 1 - P(X < 60) = 1 - P( Z < (60 - 80)/10) = 1 - P(Z < -2) = P(Z < 2) = 0.9772.
  \] Fate un grafico della normale standard!!
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/f1-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\[
P( 72 < X < 82) = P(X <82) - P(X < 72) 
\] Quindi si ottiene \[
P(Z < (82-80)/10 ) - P(Z < (72-80)/10) = P(Z < 0.2) - P(Z < -0.8)
\] Dalle tavole \[
P(Z <0.2) = 0.5793
\] \[
P(Z < -0.8) = 1 - P(Z < 0.8) = 1 - 0.7881 
\] e quindi il risultato è \(0.5793 - 1 - 0.7881 = 0.3674\).

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/f2-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Abbiamo \[  
  P(X < 55)  = P(Z < (55 - 80)/10) = P(Z < -2.50) = 1 - P(Z < 2.50) = 0.0062.
  \]
\end{enumerate}

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/f3-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Come trovare \(x\) tale che \(P(X > x) = 0.1\)?
\end{enumerate}

Ora, si sa che \(P(Z > 1.282) = 0.1\) per la normale standard \(Z\)
(guardate le tavole della t di Student ultima riga).

Quindi, poiché \(X = 80 + 10 Z\), si può scrivere \[
P(80 + 10 Z > 80 + 10 \cdot 1.282) = 0.1
\] cioè \[
P(X < 92.82) = 0.1
\] e quindi la risposta è \(x = 92.82\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Notare che se la probabilità che \(X\) assuma valori all'esterno è
  \(0.08\) allora in ciascuna coda deve essere \(0.04\). Perciò prima si
  cerca per la normale \(N(0,1)\) \[
  P(Z > z) = 0.04
  \] Questo non si trova sulle tavole della t di Student. Occorre
  guardare la tavola 1 della normale all'inverso, in corrispondenza di
  \(P(Z < z) = 0.96\) e si vede che \(z = 1.75\). Questo valore è
  chiamato \(z_{\alpha/2}\) dove \(\alpha = 0.08\).
\end{enumerate}

Perciò l'intervallo \((-1.75, 1.75)\) è centrato nella media e ha le
caratteristiche richieste per la normale standard.

Ma qui abbiamo la normale \(N(80, \sigma = 10)\) e quindi l'intervallo
richiesto si ottiene applicando l'inverso della trasformazione di
standardizzazione, cioè: \[
\text{Estremo inferiore } = 80 - 1.75 \cdot  10 = 62.5, \quad \text{Estremo superiore } = 80 + 1.75 \cdot  10 = 97.5
\]

Notare la somiglianza con gli intervalli di confidenza (Capitolo 9).

\subsubsection{Esercizio 6.23}\label{esercizio-6.23}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Qual è il numero di unità vendute che ha probabilità \(0.1\) di essere
  superato? Se \(X \sim N(1200, 100^2) \) sono le vendite, si deve
  calcolare il valore \(d\) tale che \[
  P(X > d ) = 0.1
  \] Devi usare le tavole all'inverso. Quindi standardizzo ambo i
  membri: \[
  P( Z > \frac{d - 1200}{100} ) = 0.1
  \] Sulle tavole trovo che \[
  P(Z \le 1.28) \simeq 0.9 
  \] e quindi \(P( Z > 1.28 ) \simeq 0.1.\) Perciò
\end{enumerate}

\[
\frac{d - 1200}{100} = 1.28
\]

e allora il valore cercato \(d\) è \[
d = 1200 + 1.28 \times 100 = 1328.
\]

\subsubsection{Esercizio 6.28}\label{esercizio-6.28}

Se \(X \sim N(\mu, \sigma)\) è il punteggio al test si chiede

\[
p = P( X > \mu + 1.5 \sigma) 
\]

Quindi standardizzando ambo i membri rispetto alla media e alla
deviazione standard (incognite) di \(X\) si ottiene

\[
p = P( Z > [(\mu + 1.5\sigma) - \mu]/\sigma ) = P(Z > 1.5) 
\]

e quindi

\[
p = 1- P(Z\le 1.5) = 0.0668.
\]

\subsubsection{Esercizio 6.30}\label{esercizio-6.30}

Sia \(X\) lo \emph{share} televisivo e supponiamo che abbia una
distribuzione di probabilità normale di media \(\mu\) e deviazione
standard \(\sigma\). Si giudica che \[
P(X > 17.8) = 0.25, \text{ e } P(X > 19.2) = 0.15.
\] Per la normale standard si trova consultando le tavole: \[
P(Z > 0.67) = 0.25 \text{ e } P(Z > 1.03) = 0.15.
\] (Guardate \(F(z)\) e trovare lo \(z\) corrispondente.)

Perciò i valori \(17.8\) e \(19.2\) si possono scrivere come segue

\begin{align*}
\mu + \sigma 0.67 &= 17.8 \\
\mu + \sigma 1.03 &= 19.2
\end{align*}

Questo è un sistema lineare di due equazioni in due incognite che si può
risolvere e fornisce come soluzioni \[
\mu =  15.265, \sigma  = 3.7838.
\]

È UN ESERCIZIO DIFFICILE!

\subsubsection{Esercizio 6.34}\label{esercizio-6.34}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Traduzione: se scelgo a caso 1 studente qual è la probabilità che il
  tempo \(x\) che è superato dal \(90\%\) dei tempi nella popolazione?
  Cioè: \[
  P(X > x)  = 0.9
  \]
\end{enumerate}

Allora, si standardizza rispetto alla media e varianza di \(X\), e si
ottiene \[
P(Z > (x - 150)/40) = 0.9
\]

Intanto cerchiamo \(k\) tale che per \(Z \sim N(0,1)\), \[
P(Z > k) = 0.9
\]

Sulla Tavola 2 della t di Student all'ultima riga (quella della normale
standard) si trova \[
P(Z > 0.1) = 1.282
\] Quindi per simmetria avremo \[
P(Z > -1.282) = 0.9
\] Quindi il valore \(x\) cercato si trova risolvendo l'equazione \[
(x-150)/40 = -1.282
\] ossia \(x = 150 + (40)(-1.282) = 98.72.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  È simile: trovare
\end{enumerate}

\[
P(X < x) = 0.8
\]

Cioè

\[
P(Z < k) = P( Z < (x-150)/40) = 0.8
\] Questa volta si va sulla Tavola 1 e si cerca il valore più vicino a
\(0.8\). Si vede che è \[
P(Z < 0.84) \simeq 0.8
\] quindi \(x\) soddisfa \[
(x - 150)/40 = 0.84
\] che si risolve ottenendo \(x = 150 + 40(0.84) = 183.6.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Tempo = \(X\). Se seleziono due studenti in modo casuale i due tempi
  dei due studenti sono \(X_1\) e \(X_2\) hanno la stessa distribuzione
  normale e sono indipendenti. Chiamo successo per il primo studente se
  dedica 2 ore o più al lavoro. Lo stesso per il secondo studente.
\end{enumerate}

La probabilità di successo è
\(p = P( X \ge 120 min) = P(Z \ge (120 - 150)/40) \) cioè
\(1 - P(Z < -0.75) = P(Z < 0.75) = 0.7734.\)

La probabilità che su due studenti indipendenti almeno 1 sia un successo
è la probabilità che non ci siano insuccessi =
\(1 -P(2 \text{ insuccessi}) = 1 - q^2.\) Siccome
\(q = 1 - 0.7734 = 0.2266\) la risposta è
\(1 - q^2 = 1 - (0.2266)^2 = 0.9487.\)

DIFFICILE

\subsubsection{Esercizio 6.38}\label{esercizio-6.38}

Sappiamo che \(X \sim N(\mu = 70, \sigma)\) ma la varianza non è nota.
Quindi usiamo l'informazione \[
P(X < 85) = 0.9322
\] cioè standardizzando \[
P(Z < (85-70)/\sigma ) = 0.9322
\]

Poiché dalle Tavole della normale (Tavola 1 del Libro) si sa che
\(P(Z < 1.5) = 0.9322\) avremo l'equazione \[
1.5 = (85 - 70)/\sigma 
\] che risolta ci dà \[
\sigma = 10. 
\]

La probabilità che \(P(X > 80)\) è

\[
P(Z > (80 - 70)/10) = P(Z > 1) = 1- P(Z < 1) = 0.1587.
\] Ora, se poni \(p = 0.1587\) come probabilità di \(1\) successo in
\(1\) prova dove successo = lo studente supera \(80\) punti, l'esercizio
chiede di trovare

\begin{align*}
P(1, 2, 3, 4 \text{ successi su } 4 \text{ prove indipendenti e identiche}) & = 1 - P(0 \text{ successi in } 4 \text{ prove}) \\   
&= 1- {4 \choose 0} p^0 q^4 \\
&= 1- 1\cdot (1- 0.1587)^4 = 0.4990394.
\end{align*}

La formula sopra deriva dal fatto che il numero di successi ha
distribuzione Binomiale!!

È abbastanza DIFFICILE.

\subsubsection{Esercizio 6.40}\label{esercizio-6.40}

Il numero di successi è approssimabile con una normale con media
\(np = 1600 \cdot 0.4 = 640\) e deviazione standard
\(\sqrt{npq} = \sqrt{1600 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = 19.6\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  Calcola \[
  P(X > 690) \simeq P(Z > (690 - 640)/19.6) = P(Z > 2.55) 
  \] cioè \(1- P(Z < 2.55) = 0.0054\).
\item
  Calcola
\end{enumerate}

\[
P(X < 570) \simeq P(Z < (570 - 640)/19.6) = P(Z <  -3.57) = 1 - 0.9888 = 0.0002.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Calcola
\end{enumerate}

\[
P( 550 < X < 650) = P( (550-640)/19.6 < Z< (650 - 640)/19.6) = P(-4.59 < Z< 0.51)
\] Ora questa probabilità è \[
P(Z < 0.51) - P(Z < -4.59) = 0.695 - 0 = 0.695.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Qual è il numero di successi che ha probabilità 0.9 di non essere
  superato?
\end{enumerate}

\(X\) = numero di successi \(\approx N(640, \sigma^2 = 384)\) e quindi
\(\sigma = 19.6\).

Si chiede \(P(X < x) = 0.09\). Cerca sulle tavole della \(N(0,1)\) il
valore \(z\) tale che \(P(Z < z) = 0.09\).

Questo valore non c'è perché è \(< 0.5\). Allora occorre cercare il
valore simmetrico rispetto allo 0 cioè \(P(Z < -z) = 0.91\). Si trova
\(P(Z < 1.34) \simeq 0.91\), e quindi \(P(Z < -1.34) = 0.09.\)

Quindi ritrasformando per \(X\) si ha
\(x = 640 - (19.6)(1.34) = 613.74\). Quindi la risposta è \(614\)
successi.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Qual è il numero di successi che ha probabilità \(0.20\) di essere
  superato?
\end{enumerate}

Chiede: trova \(x\) tale che \(P(X > x) = 0.20\). Si cerca allora sulle
tavole della normale standard \(P(Z < z) = 0.80\). Si trova
\(P(Z < 0.84) = 0.80\). Quindi ritrasformando per \(X\) si ha \[
x = 640 + (19.6)( 0.84) = 656.46
\] cioè \(656\) successi.

\subsubsection{Esercizio 6.42}\label{esercizio-6.42}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Usa per la distribuzione di \(\hat P\) una approssimazione normale con
  media \(0.4\) e \(\sigma = \sqrt{pq/n} = 0.01224745\).
\end{enumerate}

Poi hai che \[
P(\hat P < p) = P(Z < (p-0.4)/0.01224745)  = 0.2
\]

Perciò poni \(k = (p-0.4)/0.01224745\) e poi osservi che
\(P(Z < k) = 0.2\) è equivalente a

\[
P( Z <  -k) = 0.8
\]

Quindi dalle tavole trovi che \(-k = 0.84\) (nota il \textbf{MENO}),
ossia \[
-(p-0.4)/0.01224745 = 0.84
\] e infine risolvi l'equazione per trovare \(p\) \[
p = 0.4 - 0.84 * 0.01224745 = 0.3897121
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Farlo per esercizio perché è uguale al precedente.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 6.48}\label{esercizio-6.48}

La durata è \(X \sim N(\mu = 35000, \sigma 4000)\). Sia \[
p = P (\bar X >  38000)
\]

La probabilità che 1 pneumatico duri più di \(38 000\) km si calcola \[
p = P(Z > (38000 - 35000)/4000) = P(Z > 0.75)
\]

Quindi

\[
p = 1 - P(Z < 0.75) = 0.22663
\]

\includegraphics[width=2.5in]{newbold_files/figure-latex/f4-1}

Quindi \(p\) è la probabilità di successo in 1 prova. In un campione di
\(n = 100\) prove indipendenti e identiche qual è la probabilità che ci
siano più di 25 successi? Dobbiamo calcolare

\[
P(X > 25) 
\] dove \(X\) (il numero di successi) è binomiale con \(n = 100\) e
\(p = 0.22663\). Il calcolo lo facciamo approssimando (visto che \(n\) è
grande) \(X\) con una normale con media e varianza rispettivamente

\begin{align*}
\mu &= n p = (100)(0.22663) = 22.663\\
\sigma^2 & = npq = (100)(0.22663)(1-0.22663) = 17.52688
\end{align*}

Quindi abbiamo

\begin{align*}
P(X > 25) &= P(Z > (25-22.663)/\sqrt{17.52688}) \\
&=  P(Z > 0.56)  \\
&= 1-P(Z<0.56) = 0.2877
\end{align*}

E' DIFFICILE

\subsubsection{Esercizio 6.67}\label{esercizio-6.67}

È un esercizio facile. Se \(T = X + Y + Z\) è il guadagno totale allora
\[
E(T) = \mu_X + \mu_Y + \mu_Z = 20000 + 25000 + 15000 = 60000
\] e visto che sono \(X, Y\) e \(Z\) indipendenti\\
\[
\mathrm{var}(T) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + \sigma_Z^2 =  2000^2 + 5000^2 + 4000^2
\] Quindi la deviazione standard è \[
\sigma_T = \sqrt{2000^2 + 5000^2 + 4000^2} = 6708.2
\]

\subsubsection{Esercizio 6.73}\label{esercizio-6.73}

Abbiamo che il numero di unità vendute è
\(X \sim N(\mu_X = 400, \sigma_X^2 = 900)\), e il numero di unità
prodotte è \(Y \sim N(\mu_Y = 400, \sigma^2_Y = 1600)\).

Inoltre il prezzo di vendita unitario è 10 dollari. Quindi il ricavo è
\(10X\). Il costo unitario di produzione è \(4\) dollari, quindi il
costo fisso di produzione è \(4 Y\).

La differenza tra i due è \[
W = 10X - 4Y
\] Siccome \(X\) e \(Y\) sono normali allora \(W\) è normale. Rispetto
alle solite applicazioni qui però le due normali sono correlate. Questo
caso non l'abbiamo mai visto a lezione.

Comunque possiamo calcolare la media e la varianza della variabile \(W\)
usando le regole viste per le variabili doppie discrete. Perciò \[
E(W) = 10 \mu_X - 4\mu_Y = 10(400) - 4(400) = 2400
\] \[
\mathrm{var}(W) = 100 \sigma^2_X + 16 \sigma^2_Y - 2(10)(4) \sigma_{XY}
\] Dobbiamo trovare la covarianza che è \[
\sigma_{XY} = \rho_{XY} \sigma_X\sigma_Y = 0.5(30)(40) = 600
\] Quindi \[
\mathrm{var}(W) = 100(900) + 16(1600)- 2(10)(4)(600) = 67600
\] e dunque \[
\sigma_W = \sqrt{67600} = 260.
\] A questo punto la domanda finale chiede qual è la probabilità \[
P(W > 2000)?
\] Siccome \(W \sim N(\mu_W= 2400,\sigma_W = 260)\) abbiamo \[
P(W > 2000) = P(Z > (2000 - 2400)/260 ) = P(Z > - 1.54) 
\] e questa è uguale a \[
P(Z < 1.54) = 0.9382
\] È DIFFICILE.

\subsubsection{Esercizio 6.90}\label{esercizio-6.90}

\[
P(Z < \frac{50-70}{\sqrt{70}} = P(Z < -2.39) = 1- F_Z(2.39) = 0.0084.
\]

\subsection{Capitolo 7. Campionamento distribuzioni campionarie
stima}\label{capitolo-7.-campionamento-distribuzioni-campionarie-stima}

\subsubsection{Esercizio 7.2}\label{esercizio-7.2}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Binomiale con \(n = 2, p = 0.5\) Funzione di probabilità
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
 x       P(X=x)
 0        0.25
 1        0.50
 2        0.25
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Binomiale con \(n = 4, p = 0.5\) Funzione di probabilità
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
  x     P(X=x)
 0      0.0625
 1      0.2500
 2      0.3750
 3      0.2500
 4      0.0625
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Binomiale con \(n = 10, p = 0.5\)
\end{enumerate}

Funzione di probabilità

\begin{verbatim}
 x     P(X=x)
 0    0.000977
 1    0.009766
 2    0.043945
 3    0.117188
 4    0.205078
 5    0.246094
 6    0.205078
 7    0.117188
 8    0.043945
 9    0.009766
10    0.000977
\end{verbatim}

\subsubsection{Esercizio 7.5}\label{esercizio-7.5}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  La media è uguale alla media della popolazione cioè 100 e la varianza
  è uguale alla varianza della popolazione divisa per la numerosità
  campionaria cioè 81/25 = 3.24. Quindi
  \(\sigma_{\bar X} = \sqrt{3.24} = 1.8\).
\end{enumerate}

b . Abbiamo

\[
P(\bar X > 102)  = P( Z > (102-100)/1.80) = P(Z> 1.11).
\]

Dalle tavole si trova che il risultato è 0.1335.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\begin{align*}
P( 98 \le \bar X \le 101)& = P((98 - 100)/1.8 \le Z \le (101 - 100)/1.8)\\
 &= P( -1.11 \le Z \le 0.56) \\
 &= P(Z \le 0.56) - [1- P(Z \le 1.11)]\\
&= 0.7123 - 0.1335 = 0.5788.
\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Risulta
\end{enumerate}

\begin{align*}
P(\bar X \le 101.5) &= P[Z \le (101.5-100)/1.8] \\
&= P(Z \le  0.83) =0.7967
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 7.12}\label{esercizio-7.12}

Sia \(X\) la variabile \emph{prezzo di vendita delle nuove abitazioni};
\(X\) ha distribuzione incognita, media e deviazione standard note:
\(X \sim N( \mu = 115000;\sigma = 25000)\).

Sia \(n=100\) l'ampiezza di un campione casuale estratto da \(X\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Essendo il campione sufficientemente ampio, si applica il teorema del
  limite centrale ottenendo
\end{enumerate}

\[
\bar X \sim N(115000 , \sigma_{\bar X} = 25000\sqrt{100} = 2500)
\]

La probabilità richiesta è

\[
P(￼\bar X > 110000) = P(Z > (110000 - 115000) /2500) = P(Z > -2) = 0.9772
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  La probabilità
\end{enumerate}

\[
113000< X < 117000) = P(-0.4 < Z< 0.4) = 0.6554-(1-0.6554)= 0.3108
\]

￼￼￼d. Essendo gli intervalli di stessa ampiezza e sfruttando la
simmetria della distribuzione normale rispetto alla sua media
\(115000\), \([114000; 116000]\) è l'intervallo in cui è più probabile
trovare il prezzo medio campionario.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Quanto svolto nei punti precedenti è valido in quanto non è stato
  necessario attribuire alcuna distribuzione alla variabile \(X\).
  Qualunque sia la distribuzione di \(X\), è possibile applicare il
  teorema del limite centrale (perché la numerosità \(n=100\) del
  campione è sufficientemente grande) per il quale la media campionaria
  \(X\) ha con buona approssimazione distribuzione normale.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 7.16}\label{esercizio-7.16}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \(ES = \sigma/\sqrt{100} = 40/10 = 4.\)
\item
  Media campionaria = \(\bar X \approx N(\mu, \sigma = 40/10 = 4)\) in
  quanto il campione è grande. Nota che:
  \(Z = (\bar X - \mu)/4 \sim N(0,1).\)
\end{enumerate}

Quindi, chiede \(P(\bar X > \mu + 5)\). Ossia standardizzando,

\[
P(Z > (\mu + 5 - \mu)/4 ) = P( Z> 5/4) = 1 - P(Z \le 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\item
  \(P(\bar X - \mu > 4) = P(4 Z > 4) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0.8413.\)
\item
  Questa volta chiede che la distanza tra la media campionaria
  \(\bar X\) e \(\mu\) sia maggiore di 3. Si usa perciò il valore
  assoluto:
\end{enumerate}

\begin{align*}
P(| \bar X  - \mu | > 3) &= P(4|Z| > 3)\\
 &= P(Z \le -0.75) + P(Z > 0.75)\\
&= 2(1- 0.7734) = 0.4532.
\end{align*}

\subsubsection{Esercizio 7.18}\label{esercizio-7.18}

X = livello di impurità \(\sim N(\mu, \sigma = 1.6)\); Campione casuale
\(n = 100\). \(\bar X\sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n} = 0.16)\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Sia k un incremento della media della popolazione. Si chiede: trova k
  tale che \[
  P(\bar X > \mu + k) = 0.05
  \]
\end{enumerate}

cioè \[
P(\bar X - \mu > k) = 0.05
\] Divido ambo i membri della disuguaglianza per
\(\sigma/\sqrt{n} = 0.16\) e ottengo \[
P(Z > k/0.16)= 0.05
\]

Perciò poiche nella normale standard \(P(Z > h) = 0.05\) si ha per
\(h = 1.645\) dovremo avere qui \(k/0.16 = 1.645\) e cioè
\(k = 0.16 \cdot 1.645 = 0.2632.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Chiede \(P(\bar X < \mu - k) = 0.10\). Quindi
  \(P(Z < -k /0.16) = 0.10\).
\end{enumerate}

Nella normale standard \(P(Z < h) = 0.10\) si ha per \(h = - 1.282\).

ATTENZIONE: guarda le tavole della t di Student ultima riga:
\(P(Z > 1.282) = 0.10\).

Quindi qui occorre che \(-k/0.16 = -1.282\), cioè
\(k = 0.16 \cdot 1.282 = 0.205\). Il libro dà come soluzione
\(- 0.205\), ma si sbaglia. La media campionaria deve essere inferiore
di 0.205 alla media della popolazione non di MENO 0.205.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Chiede \(P(|\bar X - \mu| > k) = 0.15\). Quando dice ``differire''
  vuol dire sia per valori superiori che inferiori e quindi bisogna
  usare il valore assoluto.
\end{enumerate}

Quindi \(P(|Z| > k /0.16) = 0.15\). Poiché nella Normale standard
\(P(|Z| > k) = 0.15\) si ha per \(k = 1.44\).

ATTENZIONE: guarda le tavole della Normale.

Per \(z = 1.44\) \(P(Z < 1.44) = 0.925\). Quindi a destra di \(1.44\) ci
sta \(1 - 0.925 = 0.075 = 7.5\%\). Analogamente a sinistra di \(-1.44\)
ci sta \(7.5\%\) e quindi complessivamente nelle due code ci sta il
15\%. Guarda la figura: le due code sono delimitate da \(-1.44\) e
\(1.44\).

Pertanto nel nostro caso \(k/0.16 = 1.44\) e cioè
\(k = 0.16 \cdot 1.44 = 0.2304\).

\subsubsection{Esercizio 7.20}\label{esercizio-7.20}

Ore = \(X \sim N(\mu, \sigma = 8.4)\). Dimensione campionaria \(n\)
incognita. La distribuzione campionaria della media è

\[
\bar X \sim  N(\mu, 8.4/\sqrt{n}).
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Chiede di trovare \(n\) tale che \(P( |\bar X - \mu| > 2) \le 0.05.\)
\end{enumerate}

Scriviamo la condizione in un altro modo: \[
P( \bar X > \mu + 2  \text{ oppure }  \bar X < \mu - 2) \le 0.05
\]

Quindi possiamo scrivere anche

\[
P( \bar X > \mu + 2) + P(  \bar X < \mu - 2) \le 0.05
\]

Poi si nota anche che

\[
P( \bar X > \mu + 2) = P( \bar X < \mu - 2) 
\]

Quindi la condizione che è data all'inizio si può sostituire con \[
2 P(\bar X > \mu + 2) \le 0.05.
\]

Calcolo la probabilità a primo membro standardizzando rispetto a media e
varianza di \(\bar X\).

\[
P( \bar X > \mu + 2) = P( Z > \frac{\mu + 2 - \mu}{ 8.4/\sqrt{n}}) = P(Z > \sqrt{n} \frac{2}{8.4})
\]

Quindi la condizione che deve essere rispettata è

\[
2 P(Z > \sqrt{n} \frac{2}{8.4}) \le 0.05
\] ossia \[
 P(Z > \sqrt{n} \frac{2}{8.4}) \le 0.025
\]

Pongo \(h = \sqrt{n} \frac{2}{8.4} \) e cerco di risolvere l'equazione

\[
P(  Z > h)  = 0.25 \text{ ossia } P(Z \le h) = 0.975
\]

Le tavole della normale ci dicono che deve essere ( h = 1.96). Perciò

\[
h =  \sqrt{n} \frac{2}{8.4} = 1.96
\]

Si risolve rispetto all'incognita \(n\) ottenendo

\[
\sqrt{n} = \frac{8.4 \cdot 1.96}{2} = 8.232
\]

da cui \(n = 67.77\). Perciò basta che \(n = 68\) affinché la richiesta
sia soddisfatta. All'aumentare di \(n\) poiché \(\sigma/\sqrt{n}\)
decresce e la probabilità nelle code diminuisce, si otterrà di sicuro
che la probabilità richiesta sia \(\le 0.05\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  Se si cambia \(0.05\) in \(0.10\) ovviamente invece di \(1.96\)
  basterebbe un valore più piccolo e quindi \(n\) è minore.
\item
  Se si cambia \(0.05\) in \(0.01\) invece di \(1.96\) ci vorrebbe un
  valore più grande e quindi un \(n\) maggiore.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 7.38}\label{esercizio-7.38}

SE \(= \sqrt{pq/100}\). Il massimo errore si ha per \(p = 0.5\) cioè \[
\max \text{SE} = 0.5/10 = 0.05.
\]

\subsubsection{Esercizio 7.39}\label{esercizio-7.39}

Chiede di trovare \(n\) tale che
\(P(| \text{Proporzione} - p | > 0.03) = 0.05.\) Quindi siccome
Proporzione \(\approx N(p, \sigma = 0.5/\sqrt{n} )\), allora
\(Z = \sqrt{n} (\text{Proporzione} - p)/0.5 \sim N(0,1)\) ossia \[
\text{Proporzione} - p = Z / (2 \sqrt{n}).
\] Allora \[
P(| \text{Proporzione} - p | > 0.03) = P(|Z| > 0.03 \cdot [2 \cdot \sqrt{n}] ) = 0.05.
\] Siccome sappiamo che \(P(|Z| > 1.96) = 0.05\) occorre che \[
0.03 \cdot [ 2 \cdot  \sqrt{n}] = 1.96
\] e quindi \(\sqrt{n} = 1.96/ 0.06 = 32.67\) e dunque
\(n > 32.67^2 = 1067.1\).

\subsubsection{Esercizio 7.44}\label{esercizio-7.44}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  Abbiamo
\end{enumerate}

\[
\hat p = \frac{211}{528} = 0.3996
\] Quindi \[
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{(0.3996)(0.6.004)}{120}} = 0.03934.
\] b. Risulta che la probabilità cercata è \[
P( Z < (0.33 - 0.3996)/0.03934) = P(Z < -1.77) = 0.0384
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  La probabilità è dopo aver standardizzato \[
  P( (0.5 - 0.3996)/0.03934 < Z < (0.6 - 0.3996)/0.03934) = P(2.55 < Z < 5.09) 
  \] Quindi siccome \(P(Z < 5.09) = 1\) risulta \[
  P(Z< 5.09) - P(Z< 2.55) = 1 - 1 - 0.9946 = 0.0054.
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 7.46}\label{esercizio-7.46}

ESERCIZIO DIFFICILE

Sia \(Y\) l'aumento di stipendio. Allora
\(Y \sim N( 12, \sigma = 3.6)\). Estraggo a caso un dirigente e dico che
ottengo un successo se l'aumento è ( Y \textless{} 10\%). La probabilità
di successo è \[
p = P( Y < 10) = P(Z < (10-12)/3.6) = P( Z< -0.56).
\] Quindi \[
p = 1- P(Z < 0.56) = 1- 0.7123 = 0.2877.
\] Poi considero un campione casuale (con ripetizione) di dirigenti
dimensione \(n = 81\) e guardo la proporzione di successi \(\hat P\) di
successi nel campione.

L'esercizio chiede di calcolare la probabilità \(P(\hat P > 0.5) \).

Ora \(\hat P \) ha distribuzione binomiale con media \(p = 0.2877\) e
deviazione standard \[
\sigma_P = \sqrt{\frac{pq}{n}} = \sqrt{\frac{(0.2877)(0.7123)}{81}} = 0.0503. 
\] Quindi usando l'approssimazione normale alla Binomiale \[
P( \hat P > 0.5) \approx P( X > 0.5)
\] dove \(X \sim N( p, \sigma_P)\). Pertanto \[
P(X > 0.5) = P(Z > (0.5- 0.2877)/0.0503) = P(Z > 4.22) = 0.
\]

\subsubsection{Esercizio 7.66}\label{esercizio-7.66}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Popolazione: \(X \sim N(420, \sigma = 100)\)
\item
  Campione casuale: \(n = 25\)
\item
  \(\bar X\sim N(420, \sigma = 100/\sqrt{25} = 20)\)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \(P(\bar X > 450) = 1 - P(Z < (450 - 420)/20) = 1 - P(Z < 1.5) = 0.0668\).
\item
  Risulta
\end{enumerate}

\begin{align*}
P( 400 < \bar X < 450) &= P(\bar X < 450) - P(\bar X < 400) \\
&= (1-0.0668) - P(Z < (400 - 420)/20) \\
&= 0.93319 - P(Z < -1) = 0.93319 - (1- P(Z < 1)) \\
&= 0.93319 - 0.1587 = 0.7745.\\
\end{align*}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\item
  Significato: qual è il valore \(c\) tale che \(P( \bar X > c) = 0.10\)
  ? È uguale a \(P(\bar X\le c) = 0.9\). Per la normale standard il
  valore \(z\) tale che \(P(Z > z) = 0.10\) è \(z = 1.28\) (guardate
  sulle tavole). Ma \(\bar X\) ha distribuzione
  \(N(420, \sigma = 100/\sqrt{25} = 20)\) e quindi dovete trasformarlo
  con \[
  c = 420 + 20 \cdot 1.28 = 445.6.
  \]
\item
  Significato: Qual è il valore \(z\) tale che \(P(\bar X < 0.10)\)?
  Siccome per la normale standard il valore \(z\) tale che
  \(P(Z \le z) = 0.10\) è \(z= -1.28\) il valore cercato è
  \(c = 420 + 20 \cdot (-1.28) = 394.4.\)
\item
  Significato: qual è il valore \(k\) tale che
  \(P(\text{Deviazione stand.} > k) = 0.05\) ossia
  \(P(S^2 > k^2) = 0.05\) ?
\end{enumerate}

Per risolvere questo esercizio bisogna sapere la distribuzione
campionaria (chi-quadro) della varianza, che però non è in programma.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{5}
\item
  Stesso problema dell'esercizio e.
\item
  Sarebbe stata minore perché la distribuzione di \(\bar X\) avrebbe
  avuto la stessa media, ma varianza più piccola e quindi le code si
  sarebbero ritirate.
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 7.72}\label{esercizio-7.72}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(P\) = proporzione che accetta di lavorare in un campione di
  \(n = 60\) quando nella popolazione \(p = 0.8\). È Binomiale relativa
  : \(P \sim Binomiale(p = 0.8, n = 60) / 60\).
\end{enumerate}

Poiché \(npq = 60 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 9.6 > 9\) si può usare
l'approssimazione normale. \[
P \approx N(\mu = p = 0.8, \sigma = \sqrt{(0.8\cdot 0.2)/60} = 0.05163978).
\]

Perciò \[
P( P < 0.7) = P(Z < (0.7 - 0.8)/ 0.05163978) = P( Z < -1.94) = 0.0262.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  Se il campione fosse di \(6\) soltanto occorre usare la Binomiale
  perché l'approssimazione normale non va bene. \[
  P( P < 0.7) = P( \text{successi}/6 < 0.7) = P(\text{successi } < 4.2) = 1 - P(\text{successi} = 5 \text{ o } 6).
  \] Quindi \[
  P(\text{successi} = 5) = \dbinom{6}{5} p^5 q^1 = 6 \cdot 0.8^5 \cdot 0.2 = 0.393216
  \] \[
  P(\text{successi} = 6) = p^6 = 0.8^6 = 0.262144
  \] e infine \[
  P( P < 0.7) = 1 -0.393216- 0.262144 = 0.34464.
  \]
\item
  In un campione di \(n = 6\), \(\bar{X}\) = stipendio medio
  \(\sim N(29000, 4000/\sqrt{6} = 1632.993 = \sigma(\bar X))\)
\end{enumerate}

\[
P(\bar X >30000) = P(Z > (30000 - 29000)/1632.993) = P( Z > 0.61) = 0.2709.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Risulta
\end{enumerate}

\begin{align*}
P(\text{Accettato e Stipendio} >30000) &= P(\text{Accettato}) P(\text{ Stipendio} > 30000 \mid \text{Accettato}) \\
&= 0.8 \cdot  P[Z > (30000 - 29000) /4000] = 0.8 \cdot  P(Z > 0.25)\\ 
&= 0.8 \cdot 0.4013 = 0.3210.\\
\end{align*}

\subsection{Capitolo 8. Stima e intervalli di
confidenza}\label{capitolo-8.-stima-e-intervalli-di-confidenza}

\subsubsection{Esercizio 8.2}\label{esercizio-8.2}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  L'unico modo che conoscete per controllare se i dati sono un campione
  da una normale è fare un box-plot. Il box-plot segnala una lieve
  asimmetria che naturalmente può sparire in un campione più grande.
\item
  Uno stimatore non distorto (cioè corretto) ed efficiente della media
  \(\mu\) della popolazione è la media campionaria \(\bar X\). Quindi \[
  \bar x = 101.375.
  \]
\item
  Uno stimatore non distorto della varianza \(\sigma^2\) della
  popolazione è la varianza campionaria corretta \[
  S^2 = \frac{\sum (X_i-\bar X)^2}{n-1} = 201.6964.
  \] Perciò l'errore standard dello stimatore della media è \[
  ES = \frac{s}{\surd n} = \sqrt{201.6964/8}.
  \]
\item
  Sia \(p\) la proporzione nella popolazione di case in vendita a meno
  di \(\$92 500\). Questa si può stimare con la proporzione analoga
  valutata nel campione. Lo stimatore in questione è non distorto. Si
  calcola con \[
  \hat P = \frac{\# \text{case a meno di } 92 500}{n} = 3/8.
  \] Infatti nel campione ci sono 3 pressi su 8 inferiori a
  \(\$92 500\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 8.9}\label{esercizio-8.9}

Il fattore di affidabilità è \(z_{\alpha/2}\). Per trovare il valore
dalle tavole si cerca il valore \(k\) tale che \[
P( Z< k) = 1- \alpha/2
\] a. \(1-\alpha = 0.96\) quindi \(\alpha/2 = 0.02\). Quindi
\(z_{\alpha/2} = 2.05\). Infatti \[
P(Z < 2.05) \simeq 0.98 
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  \(\alpha/2 = 0.06\). Quindi \(z_{\alpha/2} = 1.56\).
\item
  \(\alpha/2 = 0.075\). Quindi \(z_{\alpha/2} = 1.44\).
\item
  \(\alpha/2 = 0.035\). Quindi \(z_{\alpha/2} = 1.81\).
\item
  \(\alpha/2 = 0.07\). Quindi \(z_{\alpha/2} = 1.48\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 8.14}\label{esercizio-8.14}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \(\alpha/2 = 0.04\). Quindi \(z_{\alpha/2} = 1.75\).
\item
  \(ES = 6/\sqrt{90} = 0.63246\).
\item
  Ampiezza = \(2 ME = 2 (1.75) ES = 2.2136.\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 8.22}\label{esercizio-8.22}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  n= 6 Livello = 1 - alfa = 95\%. Sulle tavole trovate \(t = 2.271\)
  Quindi \(ME = t\cdot s/\sqrt{n} = 2.571 \cdot 40 / \sqrt{6}= 41.98\).
  L'ampiezza è \(2*ME = 2 \cdot 41.98 = 83.96\).
\item
  \(n = 22, s = 20\), Livello = 99\%, \(t\) con \(21\) gdl = \(2.831\).
  Quindi \(2ME = 2 \cdot 20/\sqrt{22} \cdot 2.831 = 24.1428\).
\item
  \(n = 25\), \(s = 50\) , Livello = 90\% \(t\) con \(24\) gdl =
  \(1.714\).
\end{enumerate}

Quindi \(2ME = 2 \cdot 50/5 \cdot 1.714 = 34.2\).

\subsubsection{Esercizio 8.38}\label{esercizio-8.38}

Il campione ha numerosità \(n = 198\). Si vuole stimare la proporzione
\(p\) di quelli che giudicano non etico il comportamento. La proporzione
campionaria è \(\hat p = 98/198 = 0.495\). L'intervallo di confidenza è
(ci dice) uguale a \((0.445, 0.545)\). Quindi il margine di errore è \[
ME = (0.545 - 0.445)/2 = 0.05 = z_{\alpha/2} ES
\]\\
dove \[
ES = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = 0.03553164
\] è l'errore standard. Perciò \[
z_{\alpha/2} = ME/ES = 0.05/0.03553164 = 1.41
\] Quindi dalla Tavola 1, a p.521 \[
\alpha/2 = 1 - F(1.41) = 1-0.9207 = 0.0793
\] e inoltre \[
\alpha = 2 \times 0.0793 = 0.1586
\] Perciò il livello di confidenza è \[
1-\alpha = 1 - 0.1586 = 0.8414.
\] cioè l'\(84.14\%\).

\subsubsection{Esercizio 8.47}\label{esercizio-8.47}

Qui ci sono i dati grezzi e il campione è molto piccolo. La popolazione
è incognita (non è detto che sia normale)

￼ a. Le stime più efficienti (se la popolazione è normale) sono la media
e la varianza campionaria corretta: \[
\bar x = 3.375, \quad s^2 =  0.4993.
\]\$

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Sia \(Y\) la variabile aleatoria che vale 1 se il livello di impurità
  di un sacco è superiore a 3.75\% e 0 altrimenti. Questa variabile è
  Bernoulli con probabilità di successo \(p\) incognita. \(p\) è la
  proporzione nella popolazione di sacchi con un livello di impurità
  superiore al 3.75\%. Il campione estratto da \(X\) genera il seguente
  campione da \(Y\): \[
  (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)
  \] in quanto solamente la seconda, la settima e l'ottava osservazione
  sono superiori a 3.75\%. Perciò la stima di \(p\) è \[
  \hat p = 3/8.
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 8.48}\label{esercizio-8.48}

Media campionaria = \(3.59\). L'errore standard è
\(1.045/\sqrt{457} = 0.04888304.\)

Quindi l'IC è \[
(3.59 - t\cdot 0.04888304 ,3.59 + t \cdot 0.04888304) = (3.49, 3.69)
\] Questo vuol dire che \(0.1 = t\cdot 0.04888304\) e quindi
\(t = 0.1/0.04888304 =2.045699 = 2.05\).

Siccome il campione ha dimensione \(n = 457\), la \(t\) di Student con
\(456\) gdl è praticamente uguale alla normale \(N(0,1)\).

Sulle tavole della normale si vede che \(2.05\) corrisponde ad una
probabilità cumulata \(0.9798\), cioè \(P(Z < 2.05) = 0.9798\).

Quindi \(\alpha/2 = 1-0.9798 = 0.0202\). Il livello di confidenza
\(1-\alpha\) è dunque \(1 - 2\cdot 0.0202 = 0.9696 = 95.96\%\).

\subsubsection{Esercizio 8.49}\label{esercizio-8.49}

\(n = 174\), \(\bar x = 6.06\), \(s = 1.43\). Quindi \[
6.16 -6.06 = 0.1 = z_{\alpha/2} (1.43/\sqrt{174})
\] e \[
z_{\alpha/2} = 0.922
\] Quindi \[
\alpha = 2 [1 - P(Z< 0.92)] = 0.3576
\] e \[
100(1-0.3576)\% = 64.24\%
\]

\subsection{Capitolo 10. Test delle
ipotesi}\label{capitolo-10.-test-delle-ipotesi}

\subsubsection{Esercizio 10.11}\label{esercizio-10.11}

\(X\) = peso della confezione in once. Si sa che
\(X \sim N(\mu, \sigma = 0.4)\). - Il sistema di ipotesi è
\(H_0: \mu \ge 16; H_1: \mu < 16\). - Campione casuale con \(n = 16\). -
Peso medio \(\bar x = 15.84\). - Errore standard
\(ES = \sigma/\surd n = 0.4/4 =0.1.\)\\
- Statistica test: \(Z = \frac{\bar X - 16}{0.1}\) - Livello = \(0.1\) -
Regione critica: \(Z < - z_{0.1} = -1.28\).

Quindi siccome \(Z = \frac{15.84-16}{0.1} = -1.6\) si rifiuta l'ipotesi
al livello del \(10\%\).

\subsubsection{Esercizio 10.17}\label{esercizio-10.17}

Il giudizio è \(X\sim N (\mu, \sigma)\). L'ipotesi che la popolazione
sia normale è alquanto discutibile.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Il sistema di ipotesi è \(H_0: \mu = 4; H_1: \mu \ne 4\).
\item
  Campione casuale con dimensione campionaria \(n = 1562\) quindi molto
  alta.
\item
  Giudizio medio campionario \(\bar x = 4.27\).
\item
  Deviazione standard campionaria \(s = 1.32\).
\item
  Errore standard \(ES = s/\sqrt{n} = 1.32/\sqrt{1562} = 0.033399\)
\item
  Statistica test = \(T = \frac{\bar X - 4}{ES} \)
\item
  Livello del test = \(1\%\)
\item
  Gradi di libertà = \(g = 1562-1 = 1561\). Sono elevati. La
  distribuzione campionaria di \(T\) è comunque normale standard sotto
  ipotesi nulla in virtù del teorema centrale del limite.
\item
  Regione critica ( T \textgreater{} t\_\{0.01/2,g\} \text { oppure } T
  \textless{} -t\_\{0.01/2,g\} ).
\end{itemize}

Decisione: siccome \(T = 8.08\) e \(t_{0.01/2,g} = 2.576\) si rifiuta
l'ipotesi. Si rifiuterebbe anche a un livello più piccolo di \(\alpha\).

\subsubsection{Esercizio 10.26}\label{esercizio-10.26}

\begin{itemize}
\item
  Incremento di vendite = \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\).
\item
  Sistema di ipotesi: \(H_0: \mu \ge 50; H_0: \mu < 50\) Il testo dice
  ``si realizzerà un incremento medio di 50 casse'' perciò si potrebbe
  anche usare \(H_0: \mu = 50\) ma in tal caso l'affermazione verrebbe
  falsificata se l'incremento medio fosse invece che di 50 casse, di 60
  o più casse e ciò ovviamente non sembra molto ragionevole. Per cui ho
  optato per un ipotesi nulla \(H_0: \mu \ge 50\).
\item
  Campione casuale di dimensione \(n = 20\).
\item
  Media campionaria \(\bar x = 41.3\).
\item
  Deviazione standard campionaria \(s = 12.2\).
\item
  Errore standard \(ES = s/\sqrt{n} = 12.2/\sqrt{20} = 2.728.\)
\item
  Statistica test: \(T = \frac{\bar X - 50}{ES} \) distribuita sotto
  ipotesi nulla come una \(t\) di Student con 19 gradi di libertà.\\
\item
  Livello del test ( 5\%)
\item
  Gradi di libertà =\(19\)
\item
  Valore critico per un test unilaterale sinistro
  \(-t_{0.05, 19} = -1.729\)
\item
  Decisione: Poiché \(t = \frac{41.3 - 50}{2.728} = -3.189\) si rifiuta
  l'ipotesi al livello del \(5\%\).
\end{itemize}

\subsubsection{Esercizio 10.35}\label{esercizio-10.35}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  L'ipotesi nulla è \(H_0: p \ge 0.75\) contro \(H_1: p < 0.75\) dove
  \(p\) è la proporzione di insegnanti che condividono l'affermazione.
\item
  La stima di \(\hat p = 118/172 = 0.686.\)
\item
  L'errore standard sotto ipotesi nulla è \[
  ES = \sqrt{\frac{0.75\cdot 0.25}{172}} 
  \]
\item
  La statistica test è \[
  z = \frac{0.686- 0.75}{ES} = -1.94
  \]
\item
  Il p-value è \[
  P( Z < -1.94) = P(Z > 1.94) = 1 - P(Z < 1.94) = 0.0262
  \] Quindi il test è significativo ma non altamente significativo. In
  particolare il test è significativo al livello del 5\%.
\end{itemize}

\subsubsection{Esercizio 10.40}\label{esercizio-10.40}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  L'ipotesi \(H_0: \mu \le 3\) contro \(H_1: \mu > 4\) si rifiuta al
  livello del \(5\%\) se \[
  \frac{\bar X - 3}{0.4/\sqrt{64}} > 1.645
  \] cioè se \(\bar X > 3.082\). Poiché nel campione \(\bar X = 3.07\)
  la decisione è non rifiutare l'ipotesi nulla.
\item
  La probabilità di rifiutare \(H_0\) quando è falsa e \(mu = 3.1\) con
  la regola precedente è \[
  P(\bar X > 3.082)
  \] però con \(\bar X \sim N(3.1, \sigma_{\bar X} = 0.4/\sqrt{64})\).
  Quindi \[
  P(Z > \frac{3.082- 3.1}{0.4/\sqrt{64}}) = P(Z > -0.36) = P(Z < 0.36) = 0.6406.
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 10.42}\label{esercizio-10.42}

La popolazione è dicotomica. Cioè \(X = 1\) se il cliente preferisce
prodotti non di marca a prezzo infereiore. Quindi
\(X \sim Bernoulli( p)\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Il sistema di ipotesi da verificare è \(H_0: p \ge 0.5; H_1: p<0.5\).
\item
  Campione casuale di dimensione \(n = 802\).
\item
  Proporzione campionaria = \(\hat p = 378/802 = 0.4713217.\)
\item
  Errore standard sotto \(p = 0.5\):
  \(ES_0 = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{(0.5)(0.5)/802} = 0.01765561.\)
\item
  Statistica test \((\hat P - 0.5)/ES_0\) distribuita sotto \(p = 0.5\)
  approssimativamente come una normale standard per il teorema centrale
  del limite.
\item
  Livello del test = \(10\%\)
\item
  Valore critico per un test unilaterale sinistro ( -z\_\{0.1\} =
  -1.28).
\end{itemize}

Quindi si rifiuta al livello del \(10\%\) se \[
\frac{\hat P - 0.5}{0.01765561} < -1.28 \text{ ossia se } \hat{P} <0.477.
\] Perciò in questo caso si rifiuta \(H_0\) al livello del \(10\%\).

La potenza del test chiesta è la probabilità di rifiutare \(H_0\) quando
\(p = 0.45\). Quindi è \[
P( \hat P < 0.477) \text{ se } p = 0.45
\] Notate che se \(p = 0.45\) allora \(\hat P\) è Binomiale con media
\(p = 0.45\) e deviazione standard\\
\[
\sqrt{pq/n} = \sqrt{(0.45)(0.55)/802} = 0.01756711
\] e inoltre siccome la numerosità campionaria è elevata si può
approssimare con una normale. Quindi la probabilità di rifiutare è \[
P(\hat P < 0.477) \approx P(Z <(0.477 - 0.45)/0.01756711) = P(Z < 1.537) = 0.9378.
\] La seconda parte È DIFFICILE.

\subsubsection{Esercizio 10.45}\label{esercizio-10.45}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  \[
  \alpha ￼= P(\frac{30.8-32}{3/\sqrt{36}}) = P(Z < -2.4) = 0.0082
  \]
\item
  \[
  \alpha =  P(\frac{30.8-32}{3/\sqrt{9}})  = P(Z < -1.2) =0.1151
  \]
\item
  \[
  \beta =  P(\frac{30.8-31}{3/\sqrt{36}})   ￼ = P(Z > -0.4) =0.6554
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 10.52}\label{esercizio-10.52}

Sia \(X\) la potenza giornaliera. Dunque
\(X \sim N(\mu, \sigma = 120)\). - Il sistema di ipotesi è \[
H_0: \mu \ge 800, \quad H_1: \mu < 800
\] - Il campione casuale ha numerosità \(n = 100\). - La regione di
rifiuto è definita da tutti i campioni cha hanno una media campionaria
\(\bar X < 776\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
  La probabilità di errore del primo tipo è la probabilità di rifiutare
  se \(H_0\) è vera cioè \[
  P(I) = P(\bar X < 776; \text{ quando } \mu = 800)
  \] Quindi sotto ipotesi nulla
  \(\bar X \sim N( \mu = \mu_0 = 800, \sigma_{\bar X}= \sigma/\surd{100} =12)\).
\end{enumerate}

Allora \[
\alpha = P(I) = P(Z < (776 - 800)/12)  =  P(Z < -2) = 1-P(Z<2) = 0.0228.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  La probabilità di errore del secondo tipo se la vera media fosse
  \(\mu = 740\) è la probabilità di accettare \(H_0\) quando \(H_0\) è
  falsa e \(\mu = 740\) cioè \[
  \beta = P(II) = P( \bar X \ge 776 ; \text{ quando } \bar X \sim N(740, \sigma_{\bar X} = 12))
  \] Quindi \[
  P(II) = P( Z \ge (776 - 740)/12) = P(Z \ge 3) = 1 - P(Z < 3) = 0.0014. 
  \]
\item
  Se fosse \(n = 200\)
\item
  \(\alpha\) sarebbe minore di quello della risposta a. Avremmo infatti
  \(\alpha = P(Z < -2.83)\).
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\roman{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  \(\beta\) sarebbe minore di quello calcolato per la risposta b.
  Avremmo infatti \(\beta = P(Z \ge 4.24)\).
\item
  Se fosse \(n = 100\) e avessimo una regione critica \(\bar X < 756\)
\item
  \(\alpha\) sarebbe minore di quello calcolato per la risposta a.
  Avremmo \(\alpha = P(Z < -3.67)\).
\item
  \(\beta\) sarebbe maggiore di quello calcolato per la risposta b.\\
  Avremmo \(\beta = P(Z \ge 1.33)\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Esercizio 10.53}\label{esercizio-10.53}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
  \(H_0: p \ge 0.25, \quad H_1: p < 0.25\). Regione critica al 5\%:
  Rifiuta se \(z < -1.645\). \[
  z = \frac{0.215-0.25}{\sqrt{0.25(0.75)/545}} = -1.9 
  \] quindi rifiuta al livello \(5\%\) .
\item
  ￼\(H_0\) si rifiuta se \(z ￼ < -1.645\) ossia se \(\hat p < .2195\).
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\roman{enumi})}
\tightlist
\item
  Potenza \[
   1 – P(Z > \frac{0.2195-0.2}{\sqrt{0.2(0.8)/545}} ￼) = 1 – P(Z > 1.14) = 0.8729
  \]
\item
  Potenza \[
  1 – P(Z > ￼\frac{0.2195-0.25}{\sqrt{0.25(0.75)/545}}) = 1 – P(Z > -1.64) = 0.0505
  \]
\item
  Potenza \[
  1 – P(Z > ￼\frac{0.2195-0.3}{\sqrt{0.3(0.7)/545}}) = 1 – P(Z > -4.1) = 0.0000
  \]
\end{enumerate}


\end{document}
