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title: "newbold2"
author: "Giovanni Marchetti"
date: "18 March 2016"
output: html_document
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Esercizio 10.11
\(X\) = peso  della confezione in once. Si sa che \(X \sim N(\mu, \sigma = 0.4)\). 
Il sistema di ipotesi è \(H_0: \mu \ge 16; H_1: \mu < 16\). 
Campione casuale con \(n = 16\). 
Peso medio \(\bar x = 15.84\).
Errore standard \(ES = \sigma/\surd n = 0.4/4 =0.1.\)  
Statistica test: \(Z = \frac{\bar X - 16}{0.1}\)
Livello = \(0.1\)
Regione critica:  \(Z < - z_{0.1} = -1.28\).

Quindi siccome \(Z = \frac{15.84-16}{0.1} = -1.6\) si rifiuta l'ipotesi al livello del \(10\%\). 

Esercizio 10.17
Il giudizio è \(X\sim N (\mu, \sigma)\). L'ipotesi che la popolazione sia normale è alquanto discutibile. 
Il sistema di ipotesi è \(H_0: \mu = 4; H_1: \mu \ne 4\).
Campione casuale con dimensione campionaria \(n = 1562\) quindi molto alta. 
Giudizio medio campionario \( \bar x = 4.27\).
Deviazione standard campionaria \(s = 1.32\).
Errore standard \(ES = s/\sqrt{n} = 1.32/\sqrt{1562} =  0.033399\)
Statistica test = \(T = \frac{\bar X - 4}{ES}  \)
Livello del test = \(1\%\)
Gradi di libertà = \(g = 1562-1 = 1561\). Sono elevatissimi. La distribuzione campionaria di \(T\) è comunque normale standard sotto ipotesi nulla in virtù del teorema centrale del limite. 
Regione critica \( T > t_{0.01/2,g} \text { oppure } T < -t_{0.01/2,g} \).

Decisione: siccome \(T = 8.08\) e \(t_{0.01/2,g}  = 2.576\) si rifiuta l'ipotesi. Si rifiuterebbe anche a un livello più piccolo di \(\alpha\).

Esercizio 10.26
Incremento di vendite = \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\).
Sistema di ipotesi: H_0: \mu \ge 50; H_0: \mu < 50\) Il testo dice "si realizzerà un incremento medio di 50 casse" perciò si potrebbe anche usare \(H_0: \mu = 50\) ma in tal caso l'affermazione verrebbe falsificata se l'incremento medio fosse invece che di 50 casse, di 60 o più casse e ciò ovviamente non sembra molto ragionevole. Per cui ho optato per un ipotesi nulla \(H_0: \mu \ge 50\). 
Campione casuale di dimensione \(n = 20\). 
Media campionaria \(\bar x = 41.3\).
Deviazione standard campionaria \(s = 12.2\).
Errore standard \(ES = s/\sqrt{n} = 12.2/\sqrt{20} =   2.728.\)
Statistica test: \(T = \frac{\bar X - 50}{ES} \) distribuita sotto ipotesi nulla come una \(t\) di Student con 19 gradi di libertà.  
Livello del test \( 5\%\)
Gradi di libertà =\(19\)
Valore critico per un test unilaterale sinistro \(-t_{0.05, 19} =  -1.729\)

Decisione: Poiché \(t = \frac{41.3 - 50}{2.728} = -3.189\) si rifiuta l'ipotesi al livello del \(5\%\). 

Esercizio 10.35
L'ipotesi nulla è  \(H_0: p \ge 0.75\) contro \(H_1: p < 0.75\) dove \(p\) è la proporzione di insegnanti che condividono l'affermazione. 
La stima di \(\hat p = 118/172 = 0.686.\) L'errore standard sotto ipotesi nulla è
\[
ES = \sqrt{\frac{0.75\cdot 0.25}{172}} 
\] 
La statistica test è
\[
z = \frac{0.686- 0.75}{ES} = -1.94
\]
Il p-value è
\[
P( Z < -1.94) = P(Z > 1.94) = 1 - P(Z < 1.94) = 0.0262
\]
Quindi il test è significativo ma non altamente significativo. In particolare il test è significativo al livello del 5%.

Esercizio 10.40
a. L'ipotesi \(H_0: \mu \le 3\) contro \(H_1: \mu > 4\) si rifiuta al livello del \(5\%\) se
\[
\frac{\bar X - 3}{0.4/\sqrt{64}} > 1.645
\]
cioè se \(\bar X > 3.082\). Poiché nel campione \(\bar X = 3.07\) la decisione è non rifiutare l'ipotesi nulla.
b. La probabilità di rifiutare \(H_0\) quando è falsa e \(mu = 3.1\) con la regola precedente è
\[
P(\bar X > 3.082)
\] 
però con \(\bar X \sim N(3.1, \sigma_{\bar X} = 0.4/\sqrt{64})\). Quindi
\[
P(Z > \frac{3.082- 3.1}{0.4/\sqrt{64}}) = P(Z > -0.36) = P(Z < 0.36) = 0.6406.
\]
Esercizio 10.42
La popolazione è dicotomica. Cioè \(X = 1\)  se il cliente preferisce prodotti non di marca a prezzo infereiore.  Quindi \(X \sim Bernoulli( p)\). 
Il sistema di ipotesi da verificare è \(H_0: p \ge 0.5; H_1: p<0.5\).
Campione casuale di dimensione \(n = 802\).
Proporzione campionaria = \(\hat p = 378/802 = 0.4713217.\)
Errore standard sotto \(p = 0.5\): \(ES_0 = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{(0.5)(0.5)/802} =  0.01765561.\)
Statistica test \((\hat P - 0.5)/ES_0\) distribuita sotto \(p = 0.5\) approssimativamente come una normale standard per il teorema centrale del limite.
Livello del test = \(10\%\)
Valore critico per un test unilaterale sinistro \( -z_{0.1} = -1.28\). 

Quindi si rifiuta al livello del \(10\%\)  se 
\[
\frac{\hat P - 0.5}{0.01765561} < -1.28 \text{ ossia se } \hat{P} <0.477.
\]
Perciò in questo caso si rifiuta \(H_0\) al livello del \(10\%\).

La potenza del test chiesta è la probabilità di rifiutare \(H_0\) quando \(p = 0.45\).   Quindi è
\[
P( \hat P < 0.477) \text{ se } p = 0.45
\]
Notate che se \(p = 0.45\) allora \(\hat P\) è Binomiale con media \(p = 0.45\) e deviazione standard  
\[
\sqrt{pq/n} = \sqrt{(0.45)(0.55)/802} = 0.01756711
\] 
e inoltre siccome la numerosità campionaria è elevata si può approssimare con una normale.
Quindi la probabilità di rifiutare è
\[
P(\hat P < 0.477) \approx P(Z <(0.477 - 0.45)/0.01756711) = P(Z < 1.537) = 0.9378.
\]
La seconda parte È DIFFICILE.

Esercizio 10.45
a.  
\[
\alpha ￼= P(\frac{30.8-32}{3/\sqrt{36}}) = P(Z < -2.4) = 0.0082
\]
b.  
\[
\alpha =  P(\frac{30.8-32}{3/\sqrt{9}})  = P(Z < -1.2) =0.1151
\]
c.
\[
\beta =  P(\frac{30.8-31}{3/\sqrt{36}})   ￼ = P(Z > -0.4) =0.6554
\]
Esercizio 10.52
Sia \(X\) la potenza giornaliera. Dunque \(X \sim N(\mu, \sigma = 120)\). Il sistema di ipotesi è
\[
H_0: \mu \ge 800, \quad H_1: \mu < 800
\]
Il campione casuale ha numerosità \(n = 100\) . La regione di rifiuto è definita da tutti i campioni cha hanno una media campionaria \(\bar X < 776\).  

a. La probabilità di errore del primo tipo è la probabilità di rifiutare se \(H_0\) è vera cioè
\[
P(I) = P(\bar X < 776; \text{ quando } \mu = 800)
\]
Quindi  sotto ipotesi nulla \(\bar X \sim N( \mu = \mu_0 = 800, \sigma_{\bar X}= \sigma/\surd{100} =12)\).

Allora
\[
\alpha = P(I) = P(Z < (776 - 800)/12)  =  P(Z < -2) = 1-P(Z<2) = 0.0228.
\]
b. La probabilità di errore del secondo tipo se la vera media fosse \(\mu = 740\) è la probabilità di accettare \(H_0\) quando \(H_0\) è falsa e \(\mu = 740\) cioè
\[
\beta = P(II) = P( \bar X \ge 776 ; \text{ quando } \bar X \sim N(740, \sigma_{\bar X} = 12))
\]
Quindi 
\[
P(II) = P( Z \ge (776 - 740)/12) = P(Z \ge 3) = 1 - P(Z < 3) = 0.0014. 
\]
c. Se fosse \(n = 200\) 
i. \(\alpha\) sarebbe minore di quello della risposta a. Avremmo infatti \(\alpha = P(Z < -2.83)\). 

ii. \(\beta\) sarebbe minore di quello calcolato per la risposta b. Avremmo infatti \( \beta = P(Z \ge 4.24)\).

d. Se fosse \(n = 100\) e avessimo una regione critica \(\bar X < 756\) 

i. \(\alpha\) sarebbe minore di quello calcolato per la risposta a. Avremmo \(\alpha = P(Z < -3.67)\).

ii. \(\beta\) sarebbe maggiore di quello calcolato per la risposta b. Avremmo \(\beta = P(Z \ge 1.33)\).

Esercizio 10.53
a.  ￼ \( H_0: p \ge 0.25, \quad H_1: p < 0.25\). Regione critica al 5%: Rifiuta se \(z < -1.645\). 
\[
z = \frac{0.215-0.25}{\sqrt{0.25(0.75)/545}} = -1.9 
\]
quindi rifiuta al livello \(5\%\) .

 b.  ￼\(H_0\) si rifiuta se \(z ￼ < -1.645\) ossia se \(\hat p < .2195\).

i) Potenza 
\[
 1 – P(Z > \frac{0.2195-0.2}{\sqrt{0.2(0.8)/545}} ￼) = 1 – P(Z > 1.14) = 0.8729
\]
ii) Potenza 
\[
1 – P(Z > ￼\frac{0.2195-0.25}{\sqrt{0.25(0.75)/545}}) = 1 – P(Z > -1.64) = 0.0505
\]
iii) Potenza
\[
1 – P(Z > ￼\frac{0.2195-0.3}{\sqrt{0.3(0.7)/545}}) = 1 – P(Z > -4.1) = 0.0000
\]
