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title: "Compiti tematici dai capitoli 2,3,4"
author: "a cura di Giovanni M. Marchetti"
date: "2016 ver. 0.8"
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```{r echo = FALSE}
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```




###1. 
In un'indagine recente, i rispondenti sono stati classificati rispetto al sesso, lo stato civile e l'area geografica di residenza. I dati sono sintetizzati nella seguente tabella (nella quale M è usato per indicare il sesso maschile e F per indicare il sesso femminile):

\begin{tabular}{lrrrrr}
            & \multicolumn{2}{c}{Single}& \multicolumn{2}{c}{Sposato}  & \\
Area        &  M &    F &   M   & F  &     Totale \\    
Nord-est    & 12 &   17 &   22  & 10 &         61 \\
Nord-ovest  & 31 &   26 &    7  & 23 &         87 \\
Centro      & 45 &   33 &   52  & 38 &        168 \\
Sud         & 34 &   19 &   18  & 13 &         84 \\
Totale      &122 &   95 &   99  & 84 &        400 \\
\end{tabular}

Qual è la proporzione di rispondenti non sposati?

A) 0.543 
B) 0.510 
C) 0.620 
D) 0.305

**Soluzione**. Interpreta la proporzione come una probabilità. Casi possibili:  400 rispondenti. Casi favorevoli: single M o single femmina = 122 + 95 = 217. Quindi la proporzione è $217/400 = 0.5425$ che arrotondato a 3 cifre è $0.543$.

###2. 
Dati due eventi $A$ e $B$, se almeno uno di loro è necessariamente vero si dice che $A$ e $B$ sono collettivamente esaustivi. Vero o Falso? 


**Soluzione**. Due eventi sono esaustivi se la loro unione è l'intero spazio campionario. Ossia se l'evento "si verifica $A$ oppure si verifica $B$" è l'evento certo. Quindi è Vero. 

###3. 
In una recente indagine sulla fiducia dei consumatori, 160 rispondenti sono stati classificati in base al loro livello di fiducia e al loro titolo di studio:

```  
                   Titolo di studio
Fiducia      Diploma    Laurea       Master
Bassa         13         17           15
Media         27         22           13
Alta          32         14            7
```

Supponiamo di estrarre a caso un consumatore: gli eventi "ha un master" e "ha un alto livello di fiducia" sono statisticamente indipendenti?

A) No.
B) Forse. 
C) Sì. 
D) Non ci sono sufficienti informazioni per rispondere.

**Soluzione**. Sono indipendenti se
$$
P(Master \cap Alta) = P(Master) P(Alta) 
$$
Ora risulta che i casi possibili sono 160, mentre
$$
P(Master \cap Alta) = 7/160, \; P(Master) = \frac{15+13+7}{160} = 35/160, \; 
P(Alta) = \frac{32+14 + 7}{160} = 53/160
$$
Quindi poiché $7/160 \ne (35/160)(53/160)$ i due eventi non sono indipendenti. 


###4. 
La regola empirica si applica a qualsiasi distribuzione, indipendentemente dalla sua forma, come guida per interpretare la distribuzione. Vero o Falso?

Rileggi la definizione: la regola empirica si applica se la popolazione è simile a una variabile normale (cioè Gaussiana). Falso. 

###5. 
Se in una certa prova si ha che $P(A)=0.7$  può accadere che $P(A \cup B)=0.5$?

A) Solo se $A$ e $B$ sono eventi incompatibili 
B) Solo se $B=\emptyset$ 
C) SI è possibile 
D) NO mai

**Soluzione**. 

A) Falsa: per esempio perché se $B$ è disgiunto da $A$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) \ge 0.7$. 
B) Falsa: se $B = \emptyset$, $P(A \cup B ) = P(A) = 0.7$
C) Falsa: vedi D). 
D) Vera: L'evento $A \cup B$ contiene sempre $A$ e quindi si verifica sempre se si verifica $A$. Quindi $P(A \cup B) \ge P(A)$ e quindi non può mai succedere che $P(A \cup B) = 0.5 < P(A)$. 
   

###6. 
Quale delle seguenti affermazioni descrive uno svantaggio nell'utilizzo del campo di variazione come misura di variabilità o di dispersione?

A) Non è misurato nella stessa unità di misura dei dati. 
B) È molto influenzato dai valori anomali.
C) Produce una misura della variabilità troppo elevata. 
D) Si può calcolare solo per variabili continue.

**Soluzione**.

A) Falso:  è $x_{\max} - x_{\min}$ e quindi è misurato nella stessa unità di misura dei dati.
B) Vero: perché ovviamente basta un solo valore o molto grande o molto piccolo per farlo cambiare a differenza degli altri indici di variabilità.
C) Falso: è una frase senza senso. 
D) Falso: anche la varianza si può calcolare solo per variabili continue e non per questo è uno svantaggio. 


###7. 
La probabilità dell'intersezione di due eventi non può essere superiore alla somma delle loro probabilità. Vero o Falso?

**Soluzione**. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B)$ quindi $P(A \cap B) \le P(A) + P(B)$. Vero.  


###8. 
Il primo quartile è sempre minore o uguale alla mediana,

A) Solo se la media è maggiore di zero
B) Solo se la moda è maggiore della mediana
C) SI è vero
D) NO è falso

**Soluzione**. Per definizione $P(X \le Q_1) = 0.25$ mentre $P(X \le Me) = 0.5$, come si vede dalla funzione di ripartizione.

```{r pic2, fig.width = 5}
curve(pgamma(x, shape = 2), 0, 6, lwd = 2, col = "red", xlab = "", ylab = "", axes = FALSE)
q1 = qgamma(0.25, shape = 2)
me = qgamma(0.5, shape = 2)
axis(1, pos = 0, at = c(0, q1, me, 6), labels = c(" ", "Q1", "Me", ""))
axis(2, pos = 0, at = c(0, .25, .5, 1), labels = c(" ", "1/4", "1/2", ""))


segments(q1, 0, q1, 0.25, lty = 2)
segments(q1, 0.25, 0, 0.25, lty = 2)

segments(me, 0, me, 0.5, lty = 2)
segments(me, 0.5, 0, 0.5, lty = 2)
```

Quindi è chiaro che $Q_1$ non può essere più grande di $Me$ altrimenti la 
probabilità di essere inferiore alla mediana sarebbe minore di 0.25. 

###9. 

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

A) La covarianza è sempre maggiore del coefficiente di correlazione.
B) La covarianza può essere uguale al coefficiente di correlazione.
C) Né la covarianza né il coefficiente di correlazione possono essere pari a zero.
D) Il coefficiente di correlazione è sempre più grande della covarianza.

**Soluzione**.

A) Falso. La covarianza cambia al variare dell'unità di misura e quindi si può 
rendere più piccola del coefficiente di correlazione.
B) Vero. Perché il coefficiente di correlazione è la covarianza fra le due variabili standardizzate.
C) Falso. Evidentemente altrimenti non esisterebbe il concetto di incorrelazione.
D) Falso. La covarianza cambia al variare dell'unità di misura e quindi si può 
rendere più grande del coefficiente di correlazione.


###10. 

Il coefficiente di correlazione lineare è sempre compreso nell'intervallo $[0,1]$. Vero o Falso?

**Soluzione**. Falso. È sempre compreso in $[-1,1]$.

###11.  

Il diagramma a barre è comunemente utilizzato per descrivere dati qualitativi. Vero o Falso?

**Soluzione**. Vero. 

###12. 
Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera per qualsiasi coppia di eventi $A$ e $B$ definiti in uno spazio degli eventi elementari  $S$?

A) Se l'unione degli eventi $A$ e $B$ è l'insieme vuoto, allora sia $A$ che $B$ sono insiemi vuoti. 
B) Se gli eventi $A$ e $B$ sono collettivamente esaustivi, allora $A\cup B= \emptyset$.
C) Se l'intersezione degli eventi $A$ e $B$ è l'insieme vuoto, allora $A$ e $B$ sono collettivamente esaustivi.
D) Se gli eventi $A$ e $B$ sono mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi, allora l'unione di $A$ e $B$ non è necessariamente uguale a $S$.

**Soluzione**.
A) Vera: $A \cup B = \emptyset$ non può avvenire se uno dei due eventi contiene degli elementi.
B) Falso: la definizione è $A\cup B = S$.
C) Falso: $A \cap B = \emptyset$ implica che gli eventi sono disgiunti non esaustivi.
D) Falso: in questo caso gli eventi sono una partizione di $S$ e quindi la loro unione è necessariamente uguale a $S$. 


###13. 
Supponiamo di lanciare due dadi e si consideri la somma dei punti dei due dadi. Sia $A$ l'evento "si osserva un numero pari" e B l'evento "si osserva un numero maggiore di 7". Cos'è $\bar A \cup \bar B$?

A) $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
B) $\{2, 4, 6\}$
C) $\{2,3,4,5,6,7,9,11\}$
D) $\{3, 5, 7\}$

**Soluzione**. $A = \{2, 4, 6,8, 10, 12\}$ e quindi $\bar A = \{3, 5,  7, 9, 11\}$.
Nota che non può avvenire che la somma di due dadi sia 1! 

$B = \{8, 9, 10, 11, 12\}$ quindi $\bar B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Conclusione: $\bar A \cup \bar B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11\}$.


###14. 
Se due insiemi di dati hanno lo stesso campo di variazione, allora:

A) I due insiemi hanno la stessa varianza.
B) La distanza tra il valore più piccolo e il valore più grande nei due insiemi ha lo stesso valore. 
C) I due insiemi hanno lo stesso scarto interquartile.
D) il valore più piccolo e il valore più grande nei due insiemi sono gli stessi.

**Soluzione**.
A) Falso in generale. Per esempio $x_1 = 0, x_2 = 1$  ha campo di variazione 1. 
Anche $y_1 = 1, y_2 = 1.5, y_3 = 2$ ha campo di variazione 1. Tuttavia $\mathrm{var}(x) = 1/2$ e  $\mathrm{var}(y) = 1/4$.
B) Vero per definizione. 
C) Falso come per A).
D) Falso: non è necessario che $x_{\max} = y_{\max}$ e $x_{\min} = y_{\min}$ per ottenere lo stesso campo di variazione.

###15. 
La differenza interquartile corrisponde al campo di variazione del $50\%$ centrale dei dati. Vero o Falso?

**Soluzione**. Vero: la differenza interquartile è $Q_3 - Q_1$ e 
$$
P(Q_1 \le X \le Q_3) = 0.5
$$
Quindi è il campo di variazione del $50\%$ centrale dei dati.

###16. 

In una ricerca di marketing, ai consumatori è stato dato uno fra 4 marche di detersivo per lavastoviglie ed è stato chiesto di usarlo per un mese. Allo scadere del periodo è stato chiesto un giudizio sul detersivo utilizzato in termini di qualità complessiva. I risultati sono i seguenti.

\begin{tabular}{crrrrr}
        & \multicolumn{4}{c}{Giudizio}                  &       \\
Marca   &   Mediocre  & Medio   &  Discreto &    Buono  & Totale\\
A       &       5     &   17    &      11   &     10    &   43\\
B       &      14     &   26    &       8   &     18    &   66\\
C       &      10     &   23    &      11   &     17    &   61\\
D       &      11     &   19    &       7   &      5    &   42\\
Totale  &      40     &   85    &      37   &     50    &  212\\
\end{tabular}

Qual è la proporzione di consumatori che ha valutato il proprio detersivo discreto o buono? 

A) 0.39 
B) 0.49 
C) 0.29 
D) 0.41

**Soluzione**.

Casi possibili $212$. Casi favorevoli: $37 + 50 = 87$. Quindi la proporzione è
$87/212 = 0.410$. 

###17. 
Fra i consumatori che hanno valutato il prodotto A, qual è la proporzione che lo ha giudicato mediocre?

A) 0.189 
B) 0.116 
C) 0.125 
D) 0.024

**Soluzione**. Casi possibili: $43$. Casi favorevoli: $5$. Quindi la proporzione è $0.1163 \simeq 0.116$.


###18. 
Una tavola con due righe, $A_1$ e $A_2$, e due colonne, $B_1$ and $B_2$, riporta le seguenti probabilità congiunte: 
$$
P(A_1 \cap B_1) = 0.10, \;P(A_1\cap B_2)=0.30, \;P(A_2\cap B_1)=0.05,\; P(A_2\cap B_2)=0.55.
$$
Quanto vale $P(B_1)$?

A) 0.15 
B) 0.60 
C) 0.40
D) 0.85

**Soluzione**. La tavola è 
$$
\begin{array}{ccc}
    & B_1 & B_2 \\
A_1 & 0.10 & 1.30 \\
A_2 & 0.05 & 0.55 \\
\end{array}
$$

La $P(B_1)$ è il totale della prima colonna cioè $P(B_1) = P(A_1 \cap B_1) + P(A_2\cap B_1) = 0.10 + 0.05 = 0.15$.


###19. 
L'operazione di standardizzazione di una variabile statistica consiste nel dividere gli scarti dalla media aritmetica per la varianza. Vero o Falso?

**Soluzione**. Falso: $z = (x - \mu)/\sigma$ NON $z = (x - \mu)/\sigma^2$.


###20. 
Per tutti gli individui di un collettivo viene rilevato il codice di avviamento postale del comune di residenza. Quale delle seguenti definizioni è appropriata per questi dati?

A) Dati quantitativi 
B) Dati qualitativi 
C) Serie storica 
D) Dati numerici

**Soluzione**

A) Falso: non si possono eseguire operazioni algebriche con un senso. Solo verificare se una altro codice è uguale o diverso. 
B) Vero. 
C) Falso. Non ci sono riferimenti temporali.
D) Falso: vedi A).


###21. 
Se $P(A) = 0.25$ e $P(B) = 0.75$, allora gli eventi $A$ e $B$ sono collettivamente esaustivi. Vero o Falso?

**Soluzione**. Falso. Esempio: in un mazzo di carte sia $A$ "pesco una carta di cuori" e $B$ "pesco una carta non di picche". $A$ e $B$ non sono esaustivi. 

###22. 
Si considerino due investimenti possibili aventi lo stesso tasso di rendimento atteso. Negli ultimi mesi l'investimento $A$ ha avuto un prezzo medio di chiusura di $14.00$ e una deviazione standard di $4.00$. L'investimento $B$ un prezzo medio di chiusura di $58.00$ e una deviazione standard di $15.00$. Il valore di mercato dell'investimento $A$ ha una variabilità relativa maggiore di quello dell'investmento $B$. Vero o Falso?

**Soluzione**. Per valutare la variabilità relativa si usa il coefficiente di variazione $CV = \sigma/\mu$. Quindi 
$$
CV_A = 4/14 0.286, \quad CV_B = 15/58 = 0.259
$$
Quindi $CV_A > CV_B$. Vero. 

###23. 
Considera la seguente distribuzione di frequenza.

```
Modalità            Frequenza    Freq. % Cumulate
fino a 584.0            1            4
 584.0 -| 1774.4        *           64
1774.4 -| 2964.8        4           80
2964.8 -| 4155.2        3           92
4155.2 -| 5345.6        1           96
più di    5345.6        1          100
```

Qual è la frequenza mancante nella posizione occupata dall'asterisco?

A) 15 
B) 16
C) 3 
D) 25

**Soluzione**.  

La frequenza relativa della classe  $(584.0, 1774.4]$ è 
$0.64 - 0.04 = 0.6$. La frequenza assoluta della stessa classe è $x$ e la frequenza totale è $10 + x$. Quindi 
$$
0.6 = x/(10+x)
$$
da cui si ottiene l'equazione $0.6\,(10+x) =  x$ che risolta dà $x = 15$.

###24. 
Sia dato lo scatter seguente. 

```{r pic1}
library(MASS)
x  = mvrnorm(10, c(30, 40), matrix(c(16, -0.9*16, -0.9*16, 16), 2, 2))
plot(x[,1], x[,2], pch = 20, col = "RoyalBlue", xlab = "", ylab = "")
```

Quale tra i valori seguenti potrebbe essere il  coefficiente di correlazione per le due variabili?

A) $-0.8$
B) $0.0$
C) $-0.3$
D) $-1$.

**Soluzione**. È chiaro che il coefficiente di correlazione deve essere negativo. 
Ovviamente si scartano la B) (incorrelazione)  e la D) (perfetto allineamento).
Tra A) e D) si sceglie A) perché l'associazione lineare è più vicina a $-1$ che a $0$. Qui ci vuole un po' d'occhio.


###25. 
La varianza di $X+c$,  dove $c$ è una costante,  è pari alla varianza di $X$ più la costante. Vero o Falso?

**Soluzione**. Falso: $\mathrm{var}(X + c) = \mathrm{var}(X).$
