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  \date{2016 ver. 0.8}

\begin{document}
\maketitle

\subsubsection{1.}\label{section}

In un'indagine recente, i rispondenti sono stati classificati rispetto
al sesso, lo stato civile e l'area geografica di residenza. I dati sono
sintetizzati nella seguente tabella (nella quale M è usato per indicare
il sesso maschile e F per indicare il sesso femminile):

\begin{tabular}{lrrrrr}
            & \multicolumn{2}{c}{Single}& \multicolumn{2}{c}{Sposato}  & \\
Area        &  M &    F &   M   & F  &     Totale \\    
Nord-est    & 12 &   17 &   22  & 10 &         61 \\
Nord-ovest  & 31 &   26 &    7  & 23 &         87 \\
Centro      & 45 &   33 &   52  & 38 &        168 \\
Sud         & 34 &   19 &   18  & 13 &         84 \\
Totale      &122 &   95 &   99  & 84 &        400 \\
\end{tabular}

Qual è la proporzione di rispondenti non sposati?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.543
\item
  0.510
\item
  0.620
\item
  0.305
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Interpreta la proporzione come una probabilità. Casi
possibili: 400 rispondenti. Casi favorevoli: single M o single femmina =
122 + 95 = 217. Quindi la proporzione è \(217/400 = 0.5425\) che
arrotondato a 3 cifre è \(0.543\).

\subsubsection{2.}\label{section-1}

Dati due eventi \(A\) e \(B\), se almeno uno di loro è necessariamente
vero si dice che \(A\) e \(B\) sono collettivamente esaustivi. Vero o
Falso?

\textbf{Soluzione}. Due eventi sono esaustivi se la loro unione è
l'intero spazio campionario. Ossia se l'evento ``si verifica \(A\)
oppure si verifica \(B\)'' è l'evento certo. Quindi è Vero.

\subsubsection{3.}\label{section-2}

In una recente indagine sulla fiducia dei consumatori, 160 rispondenti
sono stati classificati in base al loro livello di fiducia e al loro
titolo di studio:

\begin{verbatim}
                   Titolo di studio
Fiducia      Diploma    Laurea       Master
Bassa         13         17           15
Media         27         22           13
Alta          32         14            7
\end{verbatim}

Supponiamo di estrarre a caso un consumatore: gli eventi ``ha un
master'' e ``ha un alto livello di fiducia'' sono statisticamente
indipendenti?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  No.
\item
  Forse.
\item
  Sì.
\item
  Non ci sono sufficienti informazioni per rispondere.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Sono indipendenti se \[
P(Master \cap Alta) = P(Master) P(Alta) 
\] Ora risulta che i casi possibili sono 160, mentre \[
P(Master \cap Alta) = 7/160, \; P(Master) = \frac{15+13+7}{160} = 35/160, \; 
P(Alta) = \frac{32+14 + 7}{160} = 53/160
\] Quindi poiché \(7/160 \ne (35/160)(53/160)\) i due eventi non sono
indipendenti.

\subsubsection{4.}\label{section-3}

La regola empirica si applica a qualsiasi distribuzione,
indipendentemente dalla sua forma, come guida per interpretare la
distribuzione. Vero o Falso?

Rileggi la definizione: la regola empirica si applica se la popolazione
è simile a una variabile normale (cioè Gaussiana). Falso.

\subsubsection{5.}\label{section-4}

Se in una certa prova si ha che \(P(A)=0.7\) può accadere che
\(P(A \cup B)=0.5\)?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Solo se \(A\) e \(B\) sono eventi incompatibili
\item
  Solo se \(B=\emptyset\)
\item
  SI è possibile
\item
  NO mai
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falsa: per esempio perché se \(B\) è disgiunto da \(A\),
  \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \ge 0.7\).
\item
  Falsa: se \(B = \emptyset\), \(P(A \cup B ) = P(A) = 0.7\)
\item
  Falsa: vedi D).
\item
  Vera: L'evento \(A \cup B\) contiene sempre \(A\) e quindi si verifica
  sempre se si verifica \(A\). Quindi \(P(A \cup B) \ge P(A)\) e quindi
  non può mai succedere che \(P(A \cup B) = 0.5 < P(A)\).
\end{enumerate}

\subsubsection{6.}\label{section-5}

Quale delle seguenti affermazioni descrive uno svantaggio nell'utilizzo
del campo di variazione come misura di variabilità o di dispersione?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Non è misurato nella stessa unità di misura dei dati.
\item
  È molto influenzato dai valori anomali.
\item
  Produce una misura della variabilità troppo elevata.
\item
  Si può calcolare solo per variabili continue.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falso: è \(x_{\max} - x_{\min}\) e quindi è misurato nella stessa
  unità di misura dei dati.
\item
  Vero: perché ovviamente basta un solo valore o molto grande o molto
  piccolo per farlo cambiare a differenza degli altri indici di
  variabilità.
\item
  Falso: è una frase senza senso.
\item
  Falso: anche la varianza si può calcolare solo per variabili continue
  e non per questo è uno svantaggio.
\end{enumerate}

\subsubsection{7.}\label{section-6}

La probabilità dell'intersezione di due eventi non può essere superiore
alla somma delle loro probabilità. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B)\) quindi
\(P(A \cap B) \le P(A) + P(B)\). Vero.

\subsubsection{8.}\label{section-7}

Il primo quartile è sempre minore o uguale alla mediana,

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Solo se la media è maggiore di zero
\item
  Solo se la moda è maggiore della mediana
\item
  SI è vero
\item
  NO è falso
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Per definizione \(P(X \le Q_1) = 0.25\) mentre
\(P(X \le Me) = 0.5\), come si vede dalla funzione di ripartizione.

\includegraphics[width=3in]{tematici234_files/figure-latex/pic2-1}

Quindi è chiaro che \(Q_1\) non può essere più grande di \(Me\)
altrimenti la probabilità di essere inferiore alla mediana sarebbe
minore di 0.25.

\subsubsection{9.}\label{section-8}

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  La covarianza è sempre maggiore del coefficiente di correlazione.
\item
  La covarianza può essere uguale al coefficiente di correlazione.
\item
  Né la covarianza né il coefficiente di correlazione possono essere
  pari a zero.
\item
  Il coefficiente di correlazione è sempre più grande della covarianza.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falso. La covarianza cambia al variare dell'unità di misura e quindi
  si può rendere più piccola del coefficiente di correlazione.
\item
  Vero. Perché il coefficiente di correlazione è la covarianza fra le
  due variabili standardizzate.
\item
  Falso. Evidentemente altrimenti non esisterebbe il concetto di
  incorrelazione.
\item
  Falso. La covarianza cambia al variare dell'unità di misura e quindi
  si può rendere più grande del coefficiente di correlazione.
\end{enumerate}

\subsubsection{10.}\label{section-9}

Il coefficiente di correlazione lineare è sempre compreso
nell'intervallo \([0,1]\). Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. È sempre compreso in \([-1,1]\).

\subsubsection{11.}\label{section-10}

Il diagramma a barre è comunemente utilizzato per descrivere dati
qualitativi. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Vero.

\subsubsection{12.}\label{section-11}

Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera per qualsiasi coppia di
eventi \(A\) e \(B\) definiti in uno spazio degli eventi elementari
\(S\)?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Se l'unione degli eventi \(A\) e \(B\) è l'insieme vuoto, allora sia
  \(A\) che \(B\) sono insiemi vuoti.
\item
  Se gli eventi \(A\) e \(B\) sono collettivamente esaustivi, allora
  \(A\cup B= \emptyset\).
\item
  Se l'intersezione degli eventi \(A\) e \(B\) è l'insieme vuoto, allora
  \(A\) e \(B\) sono collettivamente esaustivi.
\item
  Se gli eventi \(A\) e \(B\) sono mutuamente esclusivi e
  collettivamente esaustivi, allora l'unione di \(A\) e \(B\) non è
  necessariamente uguale a \(S\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. A) Vera: \(A \cup B = \emptyset\) non può avvenire
se uno dei due eventi contiene degli elementi. B) Falso: la definizione
è \(A\cup B = S\). C) Falso: \(A \cap B = \emptyset\) implica che gli
eventi sono disgiunti non esaustivi. D) Falso: in questo caso gli eventi
sono una partizione di \(S\) e quindi la loro unione è necessariamente
uguale a \(S\).

\subsubsection{13.}\label{section-12}

Supponiamo di lanciare due dadi e si consideri la somma dei punti dei
due dadi. Sia \(A\) l'evento ``si osserva un numero pari'' e B l'evento
``si osserva un numero maggiore di 7''. Cos'è \(\bar A \cup \bar B\)?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
\item
  \(\{2, 4, 6\}\)
\item
  \(\{2,3,4,5,6,7,9,11\}\)
\item
  \(\{3, 5, 7\}\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. \(A = \{2, 4, 6,8, 10, 12\}\) e quindi
\(\bar A = \{3, 5, 7, 9, 11\}\). Nota che non può avvenire che la somma
di due dadi sia 1!

\(B = \{8, 9, 10, 11, 12\}\) quindi \(\bar B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\).
Conclusione: \(\bar A \cup \bar B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11\}\).

\subsubsection{14.}\label{section-13}

Se due insiemi di dati hanno lo stesso campo di variazione, allora:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  I due insiemi hanno la stessa varianza.
\item
  La distanza tra il valore più piccolo e il valore più grande nei due
  insiemi ha lo stesso valore.
\item
  I due insiemi hanno lo stesso scarto interquartile.
\item
  il valore più piccolo e il valore più grande nei due insiemi sono gli
  stessi.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. A) Falso in generale. Per esempio
\(x_1 = 0, x_2 = 1\) ha campo di variazione 1. Anche
\(y_1 = 1, y_2 = 1.5, y_3 = 2\) ha campo di variazione 1. Tuttavia
\(\mathrm{var}(x) = 1/2\) e \(\mathrm{var}(y) = 1/4\). B) Vero per
definizione. C) Falso come per A). D) Falso: non è necessario che
\(x_{\max} = y_{\max}\) e \(x_{\min} = y_{\min}\) per ottenere lo stesso
campo di variazione.

\subsubsection{15.}\label{section-14}

La differenza interquartile corrisponde al campo di variazione del
\(50\%\) centrale dei dati. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Vero: la differenza interquartile è \(Q_3 - Q_1\) e
\[
P(Q_1 \le X \le Q_3) = 0.5
\] Quindi è il campo di variazione del \(50\%\) centrale dei dati.

\subsubsection{16.}\label{section-15}

In una ricerca di marketing, ai consumatori è stato dato uno fra 4
marche di detersivo per lavastoviglie ed è stato chiesto di usarlo per
un mese. Allo scadere del periodo è stato chiesto un giudizio sul
detersivo utilizzato in termini di qualità complessiva. I risultati sono
i seguenti.

\begin{tabular}{crrrrr}
        & \multicolumn{4}{c}{Giudizio}                  &       \\
Marca   &   Mediocre  & Medio   &  Discreto &    Buono  & Totale\\
A       &       5     &   17    &      11   &     10    &   43\\
B       &      14     &   26    &       8   &     18    &   66\\
C       &      10     &   23    &      11   &     17    &   61\\
D       &      11     &   19    &       7   &      5    &   42\\
Totale  &      40     &   85    &      37   &     50    &  212\\
\end{tabular}

Qual è la proporzione di consumatori che ha valutato il proprio
detersivo discreto o buono?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.39
\item
  0.49
\item
  0.29
\item
  0.41
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

Casi possibili \(212\). Casi favorevoli: \(37 + 50 = 87\). Quindi la
proporzione è \(87/212 = 0.410\).

\subsubsection{17.}\label{section-16}

Fra i consumatori che hanno valutato il prodotto A, qual è la
proporzione che lo ha giudicato mediocre?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.189
\item
  0.116
\item
  0.125
\item
  0.024
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Casi possibili: \(43\). Casi favorevoli: \(5\).
Quindi la proporzione è \(0.1163 \simeq 0.116\).

\subsubsection{18.}\label{section-17}

Una tavola con due righe, \(A_1\) e \(A_2\), e due colonne, \(B_1\) and
\(B_2\), riporta le seguenti probabilità congiunte: \[
P(A_1 \cap B_1) = 0.10, \;P(A_1\cap B_2)=0.30, \;P(A_2\cap B_1)=0.05,\; P(A_2\cap B_2)=0.55.
\] Quanto vale \(P(B_1)\)?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.15
\item
  0.60
\item
  0.40
\item
  0.85
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. La tavola è \[
\begin{array}{ccc}
    & B_1 & B_2 \\
A_1 & 0.10 & 1.30 \\
A_2 & 0.05 & 0.55 \\
\end{array}
\]

La \(P(B_1)\) è il totale della prima colonna cioè
\(P(B_1) = P(A_1 \cap B_1) + P(A_2\cap B_1) = 0.10 + 0.05 = 0.15\).

\subsubsection{19.}\label{section-18}

L'operazione di standardizzazione di una variabile statistica consiste
nel dividere gli scarti dalla media aritmetica per la varianza. Vero o
Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso: \(z = (x - \mu)/\sigma\) NON
\(z = (x - \mu)/\sigma^2\).

\subsubsection{20.}\label{section-19}

Per tutti gli individui di un collettivo viene rilevato il codice di
avviamento postale del comune di residenza. Quale delle seguenti
definizioni è appropriata per questi dati?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Dati quantitativi
\item
  Dati qualitativi
\item
  Serie storica
\item
  Dati numerici
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falso: non si possono eseguire operazioni algebriche con un senso.
  Solo verificare se una altro codice è uguale o diverso.
\item
  Vero.
\item
  Falso. Non ci sono riferimenti temporali.
\item
  Falso: vedi A).
\end{enumerate}

\subsubsection{21.}\label{section-20}

Se \(P(A) = 0.25\) e \(P(B) = 0.75\), allora gli eventi \(A\) e \(B\)
sono collettivamente esaustivi. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. Esempio: in un mazzo di carte sia \(A\)
``pesco una carta di cuori'' e \(B\) ``pesco una carta non di picche''.
\(A\) e \(B\) non sono esaustivi.

\subsubsection{22.}\label{section-21}

Si considerino due investimenti possibili aventi lo stesso tasso di
rendimento atteso. Negli ultimi mesi l'investimento \(A\) ha avuto un
prezzo medio di chiusura di \(14.00\) e una deviazione standard di
\(4.00\). L'investimento \(B\) un prezzo medio di chiusura di \(58.00\)
e una deviazione standard di \(15.00\). Il valore di mercato
dell'investimento \(A\) ha una variabilità relativa maggiore di quello
dell'investmento \(B\). Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Per valutare la variabilità relativa si usa il
coefficiente di variazione \(CV = \sigma/\mu\). Quindi \[
CV_A = 4/14 0.286, \quad CV_B = 15/58 = 0.259
\] Quindi \(CV_A > CV_B\). Vero.

\subsubsection{23.}\label{section-22}

Considera la seguente distribuzione di frequenza.

\begin{verbatim}
Modalità            Frequenza    Freq. % Cumulate
fino a 584.0            1            4
 584.0 -| 1774.4        *           64
1774.4 -| 2964.8        4           80
2964.8 -| 4155.2        3           92
4155.2 -| 5345.6        1           96
più di    5345.6        1          100
\end{verbatim}

Qual è la frequenza mancante nella posizione occupata dall'asterisco?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  15
\item
  16
\item
  3
\item
  25
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

La frequenza relativa della classe \((584.0, 1774.4]\) è
\(0.64 - 0.04 = 0.6\). La frequenza assoluta della stessa classe è \(x\)
e la frequenza totale è \(10 + x\). Quindi \[
0.6 = x/(10+x)
\] da cui si ottiene l'equazione \(0.6\,(10+x) = x\) che risolta dà
\(x = 15\).

\subsubsection{24.}\label{section-23}

Sia dato lo scatter seguente.

\includegraphics[width=3in]{tematici234_files/figure-latex/pic1-1}

Quale tra i valori seguenti potrebbe essere il coefficiente di
correlazione per le due variabili?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(-0.8\)
\item
  \(0.0\)
\item
  \(-0.3\)
\item
  \(-1\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. È chiaro che il coefficiente di correlazione deve
essere negativo. Ovviamente si scartano la B) (incorrelazione) e la D)
(perfetto allineamento). Tra A) e D) si sceglie A) perché l'associazione
lineare è più vicina a \(-1\) che a \(0\). Qui ci vuole un po' d'occhio.

\subsubsection{25.}\label{section-24}

La varianza di \(X+c\), dove \(c\) è una costante, è pari alla varianza
di \(X\) più la costante. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso: \(\mathrm{var}(X + c) = \mathrm{var}(X).\)


\end{document}
