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  \date{2016 ver. 0.5}

\begin{document}
\maketitle

{
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
}
\subsubsection{1.}\label{section}

Se \(X\) e \(Y\) sono due variabili casuali independenti, quale delle
seguenti uguaglianze è vera?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(E(2X + 3Y) = 5\;E(X + Y)\)
\item
  \(\mathrm{var}(2X + 3Y) = 2 \mathrm{var}(X) + 3\mathrm{var}(Y)\)
\item
  \(\mathrm{var}(2X+3Y)=4Var(X)+9Var(Y)\)
\item
  \(E(2X+3Y)=E(X)+E(Y)+5\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. A) Falsa: \(E(2X + 3 Y) = 2E(X) + 3 E(Y)\). B)
Falsa: \(\mathrm{var}(2X + 3Y) = 4 \mathrm{var}(X) + 9\mathrm{var}(Y)\)
C) Vera. D) Falsa.

\subsubsection{2.}\label{section-1}

(Richiede la conoscenza dell'ipergeometrica). In una partita di 18
autocarri, ce ne sono 4 senza aria condizionata. Se ne estraggono 4 a
caso. Qual è la probabilità al più due siano senza aria condizionata?

\textbf{Soluzione}. L'estrazione è senza ripetizione perché il testo
dice la numerosità della popolazione da cui si estrae e il campione è
piccolo. Qui ( X = ) numero di autocarri senza aria condizionata sul 4
estratti. Pertanto, \(X\) ha distribuzione ipergeometrica. Quindi: \[
P(X = 3) = \frac{{S \choose 3}{N-S \choose n-3}}{{N \choose n}}
\]\\
e anche\\
\[
P(X = 4) = \frac{{S \choose 4}{N-S \choose n-4}}{{N \choose n}}
\]\\
La probabilità chiesta è \(P( X \le 2) = 1 - P(X = 3) - P(X = 4)\).
Quindi si calcola

\begin{align*}
P(X = 3) &= \frac{{4 \choose 3}{14 \choose 1}}{{18 \choose 4}}\\
&= \frac{4 \times 14}{3060} = 0.0183
\end{align*}\begin{align*}
P(X = 4) &= \frac{{4 \choose 4}{14 \choose 0}}{{18 \choose 4}}\\
&= \frac{1 \times 1}{3060} = 0.000326797.
\end{align*}

Quindi \(P(X \le 2) = 1 - 0.0183 - 0.0004 = 0.9813.\)

\subsubsection{3.}\label{section-2}

Se \(X\) e \(Y\) sono due variabili casuali indipendenti, quale delle
seguenti uguaglianze è falsa? A) \(\mathrm{cov}(X, Y) = 0\) B)
\(\mathrm{var}(X - Y) = \mathrm{var}(X) + \mathrm{var}(Y)\) C)
\(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\) D) \(\mathrm{cov}(X, Y) = 1\).

\textbf{Soluzione}. A) Vera: se \(X\) e \(Y\) sono indipendenti sono
anche incorrelate. B) Vera: perché
\(\mathrm{var}(X - Y) = \mathrm{var}(X) + \mathrm{var}(Y) - 2 \mathrm{cov}(X,Y)\)
C) Vera. D) Falsa.

\subsubsection{4.}\label{section-3}

Un' indagine ha rilevato che il \(40\%\) dei controllori di volo ritiene
il proprio lavoro molto stressante. Supponi che \(12\) controllori di
volo siano selezionati casualmente. Qual è la probabilità che almeno 2
di loro ritengano il proprio lavoro molto stressante?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.7218
\item
  0.2806
\item
  0.9804
\item
  0.0282
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Qui si suppone che selezionare casualmente 12
controllori da una popolazione (di numerosità ignota) sia equivalente a
fare 12 prove di Bernoulli indipendenti con probabilità 0.4 di
selezionare uno stressato. Il numero \(X\) di controllori di volo
stressati su 12 è quindi binomiale. \[
X = \# \text{ stressati su } 12 \sim Binomiale(12, p = 0.4)
\] Quindi la probabilità che almeno 2 due di loro siano stressati su 12
è \[
P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X= 0) - P(X = 1)
\] Quindi si usa la formula della probabilità Binomiale: \[
1 - binom{12}{0} (0.4)^0(0.6)^{12} - \binom{12}{1} (0.4)^1(0.6)^{11}  = 1 - 0.6^{12} - 12(0.4)(0.6^11) = 0.9804.
\]

\subsubsection{5.}\label{section-4}

Data la distribuzione di probabilità \[
\begin{array}{ccccccccc}
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
p(x) & 0.05 & 0.16 &0.19 &0.24 &0.18 &0.11 &0.03 &0.04\\
\end{array}
\] Quali delle seguenti affermazioni è vera?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(P(X \ge 3) = 0.64\)
\item
  \(P(2 < X < 5) = 0.42\)
\item
  \(P(X>6)=0.07\)
\item
  \(P(X\le 6)=0.93\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(P(X \ge 3) = 1 - (0.05 + 0.16 + 0.19) = 0.6\). Falso.
\item
  \(P(2 < X < 5) = p(3) + p(4) = 0.24 + 0.18 = 0.42\). Vero.
\item
  \(P(X>6)= 0.04\). Falso.
\item
  \(P(X\le 6) = 1 - p(7) = 1 - 0.04 = 0.96\). Falso.
\end{enumerate}

\subsubsection{6.}\label{section-5}

Considera la seguente distribuzione di probabilità della variabile
casuale \(X\). \[
\begin{array}{cccccccc}
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
p(x) & 0.07 & 0.19 &0.23 &0.17 &0.16 &0.14 &0.04 \\
\end{array}
\] Qual è il valore atteso di \(X\)?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.46
\item
  1.78
\item
  2.74
\item
  3.02
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Abbiamo \[
E(X) = (0)(0.07) + (1)(0.19) + (2)(0.23) + (3)(0.17) + (4)(0.16) + (5) (0.14) + (6)(0.04) = 2.74. 
\]

\subsubsection{7.}\label{section-6}

Se X e Y sono due variabili casuali con \(\mathrm{cov}(X, Y) = 0.25\),
\(\sigma^2_X = 0.36\), e \(\sigma^2_Y = 0.49\), allora il il
coefficiente di correlazione è A) \(0.595\) B) \(0.354\) C) \(1.417\) D)
\(1.190\).

\textbf{Soluzione}. Abbiamo \[
\rho_{XY} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}
\] quindi \[
\rho = \frac{0.25}{\sqrt{0.36\cdot 0.49}} = 0.595.
\] Velo pietoso sui coefficienti di correlazione più grandi di 1!

\subsubsection{8.}\label{section-7}

Quale dei seguenti è un esempio di variabile casuale discreta?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  L'ammontantare di pioggia che cade in un intervallo temporale di 24
  ore.
\item
  Il peso di un pacco all'ufficio postale.
\item
  La distanza che puoi percorrere con un pieno di benzina.
\item
  Il numero di vacche in una fattoria.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  È una misura (in mm)
\item
  È una misura (in kg)
\item
  È una misura (in km)
\item
  È un conteggio e dunque è una variabile discreta.
\end{enumerate}

\subsubsection{9.}\label{section-8}

Sia \(X\sim N(17.1, \sigma=3.2)\). Calcolare \(P(15 < X < 20)\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.5640
\item
  0.5581
\item
  0.2546
\item
  0.1814
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Si ha \[
P(15 < X < 20) = P(X < 20) - P(X < 15)
\] Standardizzando, si ha \[
P(X < 20) = P(Z < (20 - 17.1)/3.2) = P(Z < 0.91)   
\] dove ho arrotondato a 2 cifre. Analogamente \[
P(X < 15) = P(Z < (15 - 17.1)/3.2) = P(Z < -0.66) = 1 - P(0.66)
\] Ora dalle tavole si trova che \[
P(Z < 0.91) = 0.8186, \quad P(Z < 0.66) = 0.7454
\] Quindi la probabilità è ( 0.8186 - (1 - 0.7454) = 0.5640.)

\subsubsection{10.}\label{section-9}

Sia \(Z\sim N(0,1)\) e sia \(c\) un possibile valore di \(Z\). Trovare
\(c\) tale che l'area totale tra \(-c\) e \(+c\) sia 0.9544.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(0.11\)
\item
  \(2.50\)
\item
  \(2.00\)
\item
  \(0.06\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Trova \(c\) tale che \(P( -c < Z < c) = 0.9544\).

\includegraphics[width=2.5in]{tematici56_files/figure-latex/pic2-1}

Nota che per rispettare la definizione bisogna che \[
P(Z > c) = (1 - 0.9544)/2 = 0.0228
\] Allora \(P(Z < c) = 1 - P(Z > c) = 1 - 0.0228 = 0.9772.\) Vai sulle
tavole della normale e vedi che \(c = 2\). Quindi la risposta è C).

\subsubsection{11.}\label{section-10}

La probabilità che una persona prenda il raffreddore durante l'inverno è
\(0.4\). Assumendo che \(10\) persone siano selezionate a caso, qual è
la probabilità che esattamente 4 di loro prendano il raffreddore?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(0.502\)
\item
  \(0.242\)
\item
  \(0.751\)
\item
  \(0.251\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Chiamo \(p\) = probabilità che una persona prenda il
raffreddore in inverno \(= 0.4\). Se si selezionano ``a caso'' 10
persone (da una popolazione infinita) si stanno facendo 10 prove di
Bernoulli indipendenti con probabilità di successo \(p\). Il numero di
persone \(X\) con il raffreddore si intende hanno distribuzione
\(X ~ Binomiale(10, p = 0.4)\). Quindi \[
P(X = 4) = \binom{10}{4} p^4 (1-p)^6 = 210 (1 - p)^6 p^4 = 0.251.
\] Risposta D.

\subsubsection{12.}\label{section-11}

Se \(X\) e \(Y\) sono due variabili casuali con \(E(X) = 5\),
\(E(Y) = 6\), \(E(XY) = 21\), \(\mathrm{var}(X) = 9\) e
\(\mathrm{var}(Y) = 10\), allora l'associazione lineare tra \(X\) e
\(Y\) è:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  debole e positiva.
\item
  debole e negativa.
\item
  forte e negativa.
\item
  forte e positiva.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. L'associazione lineare si misura con il coefficiente
di correlazione lineare. \[
\mathrm{cor}(X,Y) = \mathrm{cov}(X, Y) / \sqrt{\mathrm{var}(X) \mathrm{var}(Y)}.
\] dove \(\mathrm{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 21 - (5)(6) = -9\).
Quindi \[
\mathrm{cor}(X, Y) = -9/\sqrt{(9)(10)} \simeq -0.95.
\] L'associazione è negativa e forte. Risposta C).

\subsubsection{13.}\label{section-12}

Ci siamo recentemente iscritto ad un golf club. Il numero di volte che
si presume di giocare a golf in un mese è una variabile casuale con
media \(10\) e deviazione standard \(2.2\). Si assume di pagare una
quota sociale di \(500\) euro al mese e di pagare una quota addizionale
di \(50\) euro per ogni partita di golf giocata. Qual è la deviazione
standard della quota media mensile da pagare al Club?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\item
  110
\item
  324
\item
  180
\item
  \begin{enumerate}
  \def\labelenumii{\arabic{enumii}.}
  \setcounter{enumii}{219}
  \item
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Il numero di volte che si gioca è aleatorio e lo
chiamiamo \(X\). Se in un mese pago \(500\) euro più \(50\) a partita al
mese pago \(500 + 50 X\) euro. In media perciò pago \[
500 + 50 E(X) = 500 + (50)(10) = 1000 \text{ euro}.
\] La varianza è \[
\mathrm{var}(X) = \mathrm{var}(500 + 50 X) = 2500 var(X)  = 2500 (2.2^2).
\] La deviazione standard è \(\sigma(X) = (50)(2.2) = 110\) euro.

\subsubsection{14.}\label{section-13}

Se \(X\) e \(Y\) sono due variabili casuali qualsiasi, quali delle
seguenti ugualianze non è sempre vera?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
\item
  \(\mathrm{var}(X + Y) = \mathrm{var}(X) + \mathrm{var}(Y)\)
\item
  \(\mathrm{var}(4X + 5Y) = 16 \mathrm{var} (X) + 25 \mathrm{var} (Y) + 40 \mathrm{cov} (X,Y)\)
\item
  \(E(4X + 5Y) = 4E(X) + 5E(Y)\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Chiede quale è Falsa. A) Vera. B) Falsa: manca il
termine \(+ 2 \mathrm{cov} (X,Y)\). C) Vera. D) Vera.

Risposta B).

\subsubsection{15.}\label{section-14}

Si assuma che il tempo di attesa per sedersi ad un ristorante sia
approssimabile con una variabile casuale normale con media \(15\) minuti
e scostamento quadratico medio di \(4.75\) minuti. Calcolare la
probabilità di dover aspettare almeno \(20\) minuti prima di sedersi.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.1469
\item
  0.3531
\item
  0.6761
\item
  0.1761.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Tempo = \(X \sim N(15, \sigma = 4.75)\). La
probabilità di dover aspettare almeno \(20\) minuti prima di sedersi è
\[
P(X \ge 20) = P[Z > (20 - 15)/4.75] = P(Z > 1.05) = 1 - P(Z\le 1.05) = 1- 0.8531 = 0.1469.
\]

\subsubsection{16.}\label{section-15}

Data la variabile casuale \(Y = a + bX\), segue che \(\mu_Y = b \mu_X\).
Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. \(E(Y) = E(a + b X) = a + b\mu_X\).

\subsubsection{17.}\label{section-16}

Se il coefficiente di correlazione lineare è nullo, allora non c'è
nessun tipo di relazione tra le due variabili. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. Ci può essere una relazione non lineare. Vedi
Figura.

\includegraphics[width=3.5in]{tematici56_files/figure-latex/pic3-1}

\subsubsection{18.}\label{section-17}

Il lancio di una moneta rappresenta un esperimento di binomiale solo se
la moneta è bilanciata, cioè se \(p = 0.5\).

\textbf{Soluzione}. Falso ovviamente.

\subsubsection{19.}\label{section-18}

Se \(X\) e\(Y\) sono due variabili casuali con \(\sigma^2_X = 3.25\),
\(\sigma^2_Y= 5.8\) , e \(\mathrm{cov}(X, Y) = 14.703\), allora il
coefficiente di correlazione lineare è \(\rho = 0.78.\)

\textbf{Soluzione}. Questo esercizio ha un problema. Infatti non
esistono due variabili con quelle varianze e quella covarianza. Questo
si vede subito perché il coefficiente di correlazione è \[
\rho = \frac{14.703}{\sqrt{3.25 \cdot 5.8}} = 3.39!!
\] Quindi la risposta è FALSO.

NOTA: il coefficiente di correlazione tornerebbe se fosse
\(\sigma_X = 3.25\), \(\sigma_Y= 5.8\).

\subsubsection{20.}\label{section-19}

Se \(X\) e \(Y\) sono due variabili casuali correlate, allora
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)+\mathrm{cov}(X,Y)\). Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso è \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)+2\mathrm{cov}(X,Y)\).

\subsubsection{21.}\label{section-20}

Se \(Z\) è una variabile casuale normale standardizzata, un valore
negativo di \(Z\) indica che la deviazione standard di \(Z\) è negativa.
Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. La deviazione standard di \(Z\) è 1.

\subsubsection{22.}\label{section-21}

La media e la mediana sono le stesse per una variabile casuale uniforme.
Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Vero: è una variabile simmetrica.

\subsubsection{23.}\label{section-22}

La forma della distribuzione normale è determinata dalla deviazione
standard \(\sigma\). Una diminuzione di \(\sigma\) riduce l'altezza
della curva e appiattisce la curva lungo l'asse delle ascisse. Un
incremento di \(\sigma\) aumenta l'altezza della curva e riduce
l'appiattimento della curva. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso: è esattamente l'oppposto.

\subsubsection{24.}\label{section-23}

Se due variabili casuali \(X\) e \(Y\) sono indipendenti, allora \[
P(y \mid  x) = P(x), \text{ e }  P(x \mid  y) = P(y) \text{ per ogni } x, y.
\] Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Vero: è la definizione.

\subsubsection{25.}\label{section-24}

Se \(X\) è una variabile casuale binomiale con \(n=5\) e \(p=0.2\),
allora il valore atteso è 1. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Vero: \(E(X) = n p = (5)(0.2) = 1\).

\subsection{Esercizi dai compiti a casa
(HW)}\label{esercizi-dai-compiti-a-casa-hw}

\subsubsection{HW 5.9}\label{hw-5.9}

Dato un campione casuale di dimensione \(n = 4900\) da una popolazione
Bernoulliana con \(p = 0.5\) sia \(X\) il numero di successi

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\alph{enumi})}
\tightlist
\item
  la \(P(X > 2480)\)
\item
  la \(P(X < 2390)\)
\item
  la \(P(2445 < X < 2520)\)
\item
  Il numero di successi che ha probabiità \(0.1\) di NON essere
  superato.
\item
  Il numero di successi che ha probabilità \(0.09\) di ESSERE superato.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

Si usa l'approsimazione normale
\(X \approx N(\mu = np, sigma^2 = npq) = N(\mu = 2450, \sigma = 35 )\).
Quindi

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\alph{enumi})}
\item
  \(P(X > 2480) = P(Z > (2480 - 2450)/35) = P(Z > 0.86) = 1 - P(Z \le 0.86) = 1- 0.8051 = 0.1949\)
\item
  \(P(X< 2390) = P(Z < (2390 - 2450)/35) = P(Z < -1.71) = 1 - P(Z < 1.71) = 1- 0.9564 = 0.0436\)
\item
  \(P(2445 < X < 2520) = P((2445 - 2450)/35 < Z < (2520-2450)/35) = P(-0.14 < Z< 2) = P(Z< 2) - P(Z < -0.14) = 0.9772 - (1 - P(Z< 0.14)) = 0.9772 - (1 - 0.5557) = 0.5329\)
\item
  Trova \(k\) tale \(P(X < k) = 0.1\) ossia
  \(P(Z < (k- 2450)/35) = 0.1\). Si cerca sulla Tavola 2, ultima riga il
  quantile che lascia A DESTRA 0.1 e poi gli si cambia segno. Fare il
  grafico! Si trova sulla Tavola 2, ultima riga si vede che
  \(z_{0.1} = 1.282\). Quindi \((k- 2450)/35 = -1.282\) e quindi \[
  k = 2450 - 1.282 \cdot 35 = 2405.13.
  \]
\item
  Trova \(k\) tale che \(P(X > k) = 0.09\) ossia \(P(X \le k) = 0.91\).
  Standardizzo e ottengo \[
   P(Z \le (k - 2450)/35))  = 0.91
   \] Il quantile 0.91 stra tra 1.34 e 1.35 quindi interpolando è 1.355.
  Allora \[
    (k - 2450)/35) = 1.355, \text{ cioè } k = 2450 + 1.355 \cdot 35 = 2497.43.
   \]
\end{enumerate}


\end{document}
