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  \date{2016 ver. 0.5}

\begin{document}
\maketitle

{
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
}
\subsection{Compiti tematici}\label{compiti-tematici}

\subsubsection{1.}\label{section}

Se un campione di dimensione \(n\) viene selezionato casualmente da una
popolazione normale, allora la distribuzione campionaria della media
sarà:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  normale solo per \(n>30\);
\item
  approssimativamente normale per qualsiasi valore di \(n\);
\item
  normale per qualsiasi valore di \(n\);
\item
  approssimativamente normale solo per \(n>30\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

La media di un campione è \(\bar X = (X_1 + \cdots X_n)/n\) è una
combinazione lineare di variabili normali e quindi è sempre esattamente
normale. Soluzione C).

\subsubsection{2.}\label{section-1}

Secondo una regola generale, la distribuzione normale approssima bene la
distribuzone della proporzione campionaria solo se:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  la popolazione ha una distribuzione normale;
\item
  \(nP(1 - P) > 9\);
\item
  la dimensione del campione \(n\) è maggiore di 30;
\item
  la proporzione \(P\) nella popolazione è prossima a 0.5.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  È una sciocchezza. Si può calcolare una proporzione solo se la
  popolazione è fatta di 0 e 1 e non se è normale.
\item
  Corretta e suggerita dal libro.
\item
  Sensata ma la B) è meglio
\item
  No, l'approssimazione dipende essenzialemente da \(n\).
\end{enumerate}

\subsubsection{3.}\label{section-2}

Se da una popolazione che non ha distribuzione normale si estraggono
tutti i possibili campioni di dimensione \(n\) e per ciascuno di questi
si calcola la media, cosa si può dire della sua distribuzione
campionaria?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  È approssimativamente normale a patto che \(n\) sia abastanza grande.
\item
  È positivamente asimmetrica.
\item
  È negativamente asimmetrica.
\item
  Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Corretta, per il teorema centrale del limite.
\item
  Può essere, ma non sempre.
\item
  Può essere, ma non sempre.
\item
  Falsa.
\end{enumerate}

\subsubsection{4.}\label{section-3}

Se la deviazione standard della distribuzione campionaria della
proporzione è pari a \(0.02049\) per campioni di dimensione \(500\),
allora la proporzione nella popolazione deve essere pari a:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(0.5\) o \(0.5\).
\item
  \(0.6\) o \(0.4\).
\item
  \(0.3\) o \(0.7\).
\item
  \(0.2\) o \(0.8\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

La distribuzione campionaria di una proporzione \(\hat P\) è Binomiale
relativa cioè ha media \(p\) e deviazione standard
\(\sigma_{\hat p}= \sqrt{pq/n}\).

Se \(\sigma_{\hat p} = 0.02049\) e \(n = 500\) avremo \[
p(1-p)/500 = (0.02049)^2
\] cioè \[
p(1-p) \approx 0.21
\] Dunque la risposta giusta è C) perché \(0.3 \times 0.7 = 0.21\).

\subsubsection{5.}\label{section-4}

In un'indagine su studenti di scuola media superiore è stato rilevato
che la spesa settimanale per svago di ogni studente è distribuita
normalmente con media pari a Euro \(52.30\) e deviazione standard pari a
Euro \(18.23\). Assumendo che questi valori siano rappresentativi di
tutti gli studenti di scuola media superiore, qual è la probabilità che
per un campione casuale di 25 studenti la spesa media settimanale degli
studenti ecceda Euro \(60\) ?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.1628
\item
  0.0174
\item
  0.4826
\item
  0.3372
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Per ipotesi se \(X\) è la spesa,
\(X \sim N(\mu = 52.3, \sigma = 18.23)\). In un campione casuale di
dimensione \(n = 25\) la spesa media è \(\bar X\) e sappiamo che
\(\bar X \sim N(\mu, \sigma_{\bar X} = \sigma/\sqrt{n})\) cioè \[
\bar X \sim N(52.3, \sigma_{\bar X} = 18.23/5 = 3.646)
\] Perciò la probabilità che la spesa \emph{media} ecceda 60 Euro è \[
P(\bar X > 60) = P(Z > (60-52.3)/3.646) = 1 - P(Z \le 2.11) = 1 -  0.9826 = 0.0174.
\] Risposta B).

\subsubsection{6.}\label{section-5}

Se viene estratto un campione di dimensione \(30\), il valore di \(c\)
per la probabilità \(P(T > c) = 0.01\), dove \(T\) è la distribuzione t
di Student, è

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  2.462.
\item
  2.750.
\item
  2.756.
\item
  2.247.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Il problema suppone che si voglia stimare la media di una popolazione
normale facendo un intervallo di confidenza al livello \(0.98\). La
distribuzione t di Student quindi deve essere scelta con \(n-1 = 29\)
gradi di libertà. Sulle tavole dei quantili della t di Student si trova
\[
c =  2.462.
\] Soluzione A).

\subsubsection{7.}\label{section-6}

Si abbia una popolazione dicotomica con una proporzione di successi pari
a \(p = 0.4\). Si estrae un campione casuale di dimensione \(3\) e si
costruisce il seguente stimatore di \(p\) \[
       T= 14 X_1+ 12 X_2+ 14 X_3.
\] Allora la varianza di T è A) 0.09 B) 0.06 C) 0.07 D) 0.08

\textbf{Soluzione}

La popolazione è dicotomica (cioè fatta di 1 e 0) e quindi è una
variabile \(X\) di Bernoulli con probabilità di successo \(p\). La sua
media è \(p\) e la sua varianza è \(\mathrm{var}(X) = pq\).

Si vuole stimare \(p\) con un campione \((X_1,X_2, X_3)\) di \(n = 3\)
elementi. La varianza di \(T\) è \[
\mathrm{var}(T) = \mathrm{var}( \frac{1}{4} X_1  + \frac{1}{2} X_2 + \frac{1}{4} X_3).
\] Siccome il campione è casuale, le variabili \(X_1, X_2\) e \(X_3\)
sono indipendenti e quindi la varianza è la somma delle varianze: \[
\mathrm{var}(T) = \mathrm{var}( \frac{1}{4} X_1)   + \mathrm{var}(\frac{1}{2} X_2)  + \mathrm{var}(\frac{1}{4} X_3).
\] Quindi si applica le regola
\(\mathrm{var}(a X) = a^2 \mathrm{var}(X)\) ottenendo \[
\mathrm{var}(T) =  \frac{1}{16} \mathrm{var}(X_1)   +  \frac{1}{4} \mathrm{var}(X_2)  +  \frac{1}{16} \mathrm{var}( X_3).
\] A questo punto siccome il campione è casuale, le distribuzioni di
\(X_1, X_2\) e \(X_3\) sono identiche alla distribuzione della
popolazione \(X\). Quindi hanno la stessa varianza di \(X\) ossia
\(pq\). Pertanto \[
\mathrm{var}(T) =  \frac{1}{16} pq   +  \frac{1}{4} pq  +  \frac{1}{16}pq = \frac{3}{8}pq.
\] NOTA: se lo stimatore fosse stato la proporzione campionaria \[
\hat P = \frac{1}{3} X_1  + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{3} X_3
\] un calcolo analogo avrebbe portato a trovare la varianza \[
\mathrm{var}(\hat P) = \frac{1}{3}pq
\] secondo la regola nota.

\subsubsection{8.}\label{section-7}

Quali dei seguenti fattori non influisce sul margine di errore di un
intervallo di confidenza?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Il livello di confidenza.
\item
  La media campionaria.
\item
  Lʹampiezza campionaria.
\item
  La varianza della popolazione.
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Supponendo di voler fare un ingtervallo di
confidenza per la media della popolazione, il margine di errore è \[
ME = z_{\alpha/2} \sigma/\sqrt{n}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falso, il livello influisce su \(z_{\alpha/2}\)
\item
  Vero perché non compare nella formula.
\item
  Falso, compare a denominatore sotto radice.
\item
  Falso, compare a numeratore sotto radice.
\end{enumerate}

\subsubsection{9.}\label{section-8}

Si supponga di voler effettuare un test su \(H_0: \mu = 0.54\) contro
\(H_1:\mu <0.54\) basato su un campionedi \(n=25\) con deviazione
standard stimata \(s=13.2\). Quale dovrebbe essere la statistica test?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \((\bar X - 0.54)/2.64\)
\item
  \((\bar X -0.54)/0.528\)
\item
  \((\bar X - 0.54)/34.848\)
\item
  \((\bar X -0.54)/0.2789\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

La statistica test è \[
T = \frac{\bar X - 0.54}{s/\sqrt{n}} = \frac{\bar X - 0.54}{2.64}.
\] Soluzione A).

\subsubsection{10.}\label{section-9}

Lʹazienda produttrice di un nuovo macchinario asserisce che questo
produce almeno \(29\) unità al giorno in più del macchinario attualmente
in uso in un'industria manufatturiera. Il manager decide di acquistare
\(15\) nuovi macchinari e osserva che la produzione media giornaliera
aumenta solo di \(26\) unità con una deviazione standard di \(6.2\).

Il valore osservato della statistica test è: A) 1.240. B) -1.240. C)
-1.874. D) 1.874.

\textbf{Soluzione}. La statistica test è\\
\[
T = \frac{\bar X - 29}{s/\sqrt{n}} =  \frac{26 - 29}{6.2/\sqrt{15}} = -1.874
\] Risposta C).

\subsubsection{11.}\label{section-10}

La Commissione Daytona Beach Tourism vuole verificare se la media della
spesa giornaliera media di uno studente del college durante le vacanze
primaverili sia superiore a \(\$70\). Sulla base di studi precedenti, è
noto che la deviazione standard della spesa giornaliera è \(\$17.32\).
La Commissione intervista un campione di \(35\) studenti ottenendo una
media campionaria di \(\$72.43\). Quale delle seguenti affermazioni è
vera?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Si rifiuta l'ipotesi nulla con \(\alpha = 0.10\).
\item
  Si rifiuta l'ipotesi nulla con \(\alpha = 0.05\).
\item
  Si rifiuta l'ipotesi nulla con \(\alpha = 0.01\).
\item
  Non è possibile rifiutare l'ipotesi nulla con \(\alpha\le 0.10\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Ipotesi alternativa \(H_1: \mu > 70\). Nel testo
dice superiore a 70 e quindi non uguale a 70. Per convenzione le
affermazioni che contengono la relazione di uguaglanza si traducono in
un'ipotesi \(H_0\). Quindi \(H_0: \mu \le 70\). Il valore \(17.32\) è la
deviazione standard \emph{nella popolazione} assunta nota perché deriva
da studi precedenti. La statistica test è \[
Z  = (\bar X - 70)/\sigma/\sqrt{n} = (72.43-70)/(17.32/\sqrt(35)) = 0.83.
\] Il p-value è \(P(Z > 0.83) = 1 - P(Z \le 0.83) = 0.2033\). Quindi

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  Falsa
\item
  Falsa
\item
  Falsa
\item
  Vera.
\end{enumerate}

\subsubsection{12.}\label{section-11}

Un professore asserisce che il punteggio medio conseguito ad un recente
esame è stato \(83\). Si assuma che la variabile punteggio conseguito si
distribuisca normalmente. Tu chiedi ad alcuni in classe quale punteggio
abbiano conseguito ed ottieni le seguenti risposte: \[
82, 77, 85, 76, 81, 91, 70,  82.
\] Supponi di voler verificare se l'affermazione del professore è
corretta. Quale affermazione tra le seguenti è più appropriata per il
p-value?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  p-value \(< 0.10\)
\item
  p-value \(< 0.01\)
\item
  p-value \(< 0.05\)
\item
  p-value \(> 0.10\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}.

Si ha \(n = 8\), la media è \[
\bar x = (82 + 77 + 85 + 76 + 81 + 91 + 70 + 82)/8 = 80.5.
\] La varianza campionaria corretta è \[
s^2 = ((82 - 80.5)^2 + (77-80.5)^2 + (85- 80.5)^2 + (76 - 80.5)^2 + (81 - 80.5)^2 +  (91- 80.5)^2 + (70- 80.5)^2 +(82- 80.5)^2)/(8-1) = 39.71429
\] Quindi la deviazione standard è \(s = \sqrt{39.71429} = 6.3\).

Il sistema di ipotesi è \[
H_0: \mu \ge 83 \text{ contro } H_1: \mu< 83
\] La regione critica unilaterale al livello del 5\% è \(t < -1.895\)
(quantile inferiore t di Student con 7 gradi di libertà al 5\%)

Statistica test = \((80.5 - 83)/(6.3/\sqrt{8}) = -1.122.\)

Quindi non si rifiuta al livello del 5\% perché \(-1.122 > -1.895\).

\includegraphics{tematici78910_files/figure-latex/tst-1.pdf}

Conclusione. La risposta D) è corretta.

\subsubsection{13.}\label{section-12}

In una piccola università ci sono 728 matricole e 211 di loro usano
Skype. Si consideri un campione di 65 matricole. La probabilità che la
proporzione campionaria sia compresa tra 0.27 e 0.3 è (usare 4 cifre
decimali) A) 0.2082 B) 0.2592 C) 0.1669 D) 0.1537

\textbf{Soluzione} Si considera una popolazione con una proporzione di
successi (chi usa Skype) \(p = 211/728 = 0.2898352\). Dato un campione
di \(65\) matricole il numero di successi nel campione senza ripetizione
ha distribuzione ipergeometrica e in un campione con ripetizione è
Binomiale. \emph{Qui supporremo che si tratti di un campione con
ripetizione}. La probabilità richiesta è che la proporzione campionaria
sia compresa tra 0.27 e 0.3 cioè \[
P(0.27 < \hat P < 0.23) = P(0.27(65) < X < 0.3(65) = P(17.55 < X < 19.5)
\] Si approssima la distribuzione di \(\hat P\) con una normale con
media \(p = 211/728\) e con varianza \(pq/n = 0.003166627\). Perciò \[
P(0.27 < \hat P < 0.3) \approx P( 0.27 -  0.2898352)  /\sqrt{0.003166627} < (0.3 - 0.2898352)/\sqrt{0.003166627})
\] Cioè \[
P(-0.35 < Z < 0.18) = P(Z< 0.18) - [1 - P(Z<0.35)] = 0.5714 - (1- 0.6368) =  0.2082.  
\] Risposta A) .

Notare che tuttavia la probabilità cercata si potrebbe calcolare
esattamente perché \[
P(17.55 < X < 19.5) = P( X = 18) + P(X - 19)
\] e si potrebbe usare la Binomiale con (\(n = 65, p = 211/728\))
ottenendo

\begin{align*}
P(X = 18) + P(X = 19) &= {65 \choose 18} p^{18} q^{65-18} + {65 \choose 19} p^{19} q^{65-19}\\
 &= 0.1071326 + 0.1081578 = 0.2152904.
\end{align*}

\subsubsection{14.}\label{section-13}

Il limite inferiore di un intervallo di confidenza al \(95\%\) per la
proporzione della popolazione \(p\) data una numerosità campionaria
\(n = 100\) e una proporzione campionaria \(\hat p = 0.62\), è pari a:
A) 0.525. B) 0.715. C) 0.699. D) 0.540.

\textbf{Soluzione}. Il limite inferiore è \[
\hat p - 1.96 \sqrt{\hat p(1 - \hat p)/n} = 0.62 - 1.96 \sqrt{(0.62)(0.38)/100} = 0.525.
\] Risposta A).

\subsubsection{15.}\label{section-14}

Nel costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione
è stato utilizzato un campione di \(40\) osservazioni. La stima
intervallare risultante è stata \(28.76 \pm 1.48\). Se la numerosità
campionaria fosse stata \(160\) invece che \(40\), la stima intervallare
sarebbe stata:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(28.76 \pm 0.37\).
\item
  \(7.19 \pm 0.37\).
\item
  \(7.19 \pm 1.48\).
\item
  \(28.76 \pm 0.74\).
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

All'aumentare della dimensione campionaria tenendo fermo il livello di
confidenza il margine di errore cambia solo in ragione di \(\sqrt{n}\).
Quindi se \(n = 160\) la numerosità campionaria è \(4\) volte quella di
prima e il margine di errore sarà la metà del precedente cioè
\(1.48/2 = 0.74\). L'esercizio non dice niente (MA DOVREBBE) sulla stima
della media nel campione di 160 elementi, ma si suppone che voglia dire
che la stima resta la stessa. Quindi la risposta è \(28.76 \pm 0.74\).
Le altre risposte sono sbagliate per i motivi seguenti: A) ha diviso per
4 il margine di errore B) ha diviso per quattro la media e il margine di
errore C) Ha diviso per 4 la media.

\subsubsection{16.}\label{section-15}

All'aumentare della dimensione del campione l'errore standard della
media non cambia. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. L'errore standard della media è \(\sigma/\sqrt{n}\).
Falso

\subsubsection{17.}\label{section-16}

Si è selezionato un campione casuale quando ogni elemento nel campione
ha la stessa probabilità di essere selezionato e ogni elemento è
selezionato in modo indipendente.

\textbf{Soluzione}. La risposta fa confusione: il campione è casuale se
ogni elemento nella popolazione ha la stessa probabilità di essere
scelto e se le osservazioni sono indipendenti.

\subsubsection{18.}\label{section-17}

Il Teorema del Limite Centrale afferma che la distribuzione della media
campionaria sarà sempre più prossima ad una distribuzione normale
indipendentemente dalla dimensione dei campioni. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. Nel teorema è cruciale che il campione abbia
una numerosità alta per poter fare l'approssimazione.

\subsubsection{19.}\label{section-18}

Un intervallo di confidenza al \(95\%\) per la proporzione nella
popolazione \(p\) è dato dall'intervallo da \(0.214\) a \(0.336\).
Basandosi su tale informazione, la proporzione campionaria che ha
determinato tale intervallo è \(0.234\).

\textbf{Soluzione}

L'intervallo è \(\hat p \pm ME\). Siccome il punto medio è \(\hat p\)
risulta \[
\hat p = (0.336 +0.214)/2 = 0.275.
\] Quindi è Falso.

\subsubsection{20.}\label{section-19}

Il livello di significatività di un test è la probabilità che l'ipotesi
nulla sia falsa. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Il livello del test è la massima probabilità di
commettere errore del primo tipo cioè di rifiutare \(H_0\) quando è
vera. Quindi È FALSO.

\subsubsection{21.}\label{section-20}

L'errore di stima è la differenza tra una stima ed il parametro. Vero o
Falso?

\textbf{Soluzione}. Vero.

\subsubsection{22.}\label{section-21}

Si verifica un errore del I tipo quando viene rifiutata unʹipotesi nulla
vera. Vero o Falso?

Vero.

\subsubsection{23.}\label{section-22}

Il valore atteso della media della popolazione è uguale alla media
campionaria. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso. La frase giusta è: il valore atteso della
media campionaria è uguale alla media della popolazione, qualunque essa
sia.

\subsubsection{24.}\label{section-23}

Lo stimatore \(\hat \theta\) è uno stimatore corretto per \(\theta\) se
\(\mathrm{var}(\hat theta) = \mathrm{var}(\theta)\). Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Falso, è corretto se \(E(\hat \theta) = \theta\).

\subsubsection{25.}\label{section-24}

Un modo per ridurre il margine di errore in un intervallo di confidenza
è diminuire il livello di confidenza. Vero o Falso?

\textbf{Soluzione}. Risulta: \(ME = z_{\alpha/2}\sigma/sqrt{n}\). Quindi
se si diminuisce il livello di confidenza per esempio da 0.99 a 0.95,
\(z_{\alpha/2}\) si riduce da 2.58 a 1.96. Quindi il ME si riduce.
Tuttavia la domanda è molto ingannevole perché in realtà l'ampiezza
dell'intervallo si riduce, ma anche il livello di confidenza.

\subsection{Esercizi aggiuntivi}\label{esercizi-aggiuntivi}

\subsubsection{26.}\label{section-25}

Il tempo che gli studenti dedicano allo studio segue una distribuzione
normale con deviazione standard di \(8\) ore. Si estrae un campione
casuale di \(4\) studenti. La probabilità che la media campionaria
differisca dalla media della popolazione per più di \(4\) ore è

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  0.2987
\item
  0.3080
\item
  0.3174
\item
  0.3085
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}. Tempo = \(X \sim N(\mu = ? , \sigma = 8)\). Se ho un
campione di dimensione \(n = 4\), la media campionaria
\(\bar X = (X_1 + X_2 + X_3 + X_4)/4\) ha distribuzione \[
\bar X\sim N(\mu = ?, 8/2 = 4).
\] La probabilità che \(\bar X\) differisca da \(\mu\) per più di 4 ore
è \[
P(|\bar X - \mu| > 4) = 1 - P(-4 < \bar X - \mu < 4) = 1 - P(\mu - 4< \bar X < \mu + 4)  
\] (fate attenzione a queste disuguaglianze, studiatele con calma)

Quindi se si standardizza \(\bar X\) rispetto alla sua media \(\mu\) e
alla sua deviazione standard \(= 4\) si ha \[
P(|\bar  - \mu| > 4) = 1- P(-1 < Z < 1) = 1 - (0.8413 - (1- 0.8413)) = 0.3174
\] e quindi la risposta corretta è la C).

\subsubsection{27.}\label{section-26}

Sia \(X\) una variabile casuale normale con media \(\mu\) e deviazione
standard \(\sigma\). Sia \(\bar X\) la media di un campione casuale
selezionato dalla popolazione descritta dalla variabile casuale \(X\).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(P(\bar X < μ + \sigma/\sqrt{n}) < P (\bar X < \mu - \sigma/\sqrt{n})\)
\item
  \(P(\bar X < \mu + \sigma/(2n)) < P (\bar X < \mu + \sigma/n)\)
\item
  \(P(\bar X < \mu + \sigma/\sqrt{n}) = P (\bar X < \mu - \sigma/\sqrt{n})\)
\item
  \(P(\bar X < \mu - \sigma/(2n)) < P (\bar X < \mu - \sigma/n)\)
\end{enumerate}

\textbf{Soluzione}

Le disuguaglianze si possono scrivere così dopo aver standardizzato.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\Alph{enumi})}
\tightlist
\item
  \(P(Z < 1) < P (Z < -1)\), Falsa.\\
\item
  \(P(X < 1/(2 \sqrt{n})) < P (Z < 1/\sqrt{n})\), Vera
\item
  \(P(Z < 1) = P (Z < -1)\), Falsa
\item
  \(P(Z < 1/(2 \sqrt{n})) < P (Z < - 1/\sqrt{n})\), Falsa.
\end{enumerate}

Le risposte accanto si deducono facendo il grafico della normale
standard e notando che \(1/(2 \sqrt{n}) < 1 /\sqrt{n}.\) Esercizio
complicato.


\end{document}
